Skolans matematik

Några klargöranden angående den missnöjda elevens guide till skolmatematiken

2012-01-01T04:12:00.000-08:00

På det förra årets sista dag (2011-12-31) fick jag ett mail från Ulf Persson med kritiska reflektioner angående mitt blogginlägg "Den missnöjda elevens guide till skolmatematiken". Detta är jag mycket tacksam för! Nedan försöker jag bemöta några av hans invändningar.

Det verkar för mig som att en kärnfråga rör vad det är som karaktäriserar "skolmatematiken" och skiljer den från "matematiken". Ulf skriver:

> din blogg andas en viss tvekan och
> osäkerhet i och med att du vill göra en
> åtskillnad mellan skolmatematik och
> matematik, utan att på något sätt
> indikera vad denna i konkreta termer
> innebär.

Hela mitt argument bygger på att det man gör i skolan inte kan beskrivas som att "lära sig matematik", att det inte kan reduceras till en fråga om mer eller mindre. Vad man då skall se skolmatematiken som istället är en svår fråga, och det här detta jag nog inte riktigt lyckats få fram. Svårigheten hänger samman med en annan invändning från Ulf, som handlar om att jag vill göra gällande att:

> [...] de som försvarar skolmatematiken
> är fångade i en box och inte förmår
> att klättra ur densamma [...]

Det här är en ganska bra beskrivning av vad jag faktiskt menar. Det finns ett ramverk, en låda, det jag i guiden kallar för "doxa" som de som försvarar skolmatematiken tar för givet. Jag förstår mig själv som ståendes utanför denna låda. (Det finns andra lådor som jag står i och andra står utanför, men det är en annan fråga.)

Jag kan förstå att metaforen med lådan och att de jag talar om och vill argumentera med skulle vara "fångade" är provocerande. Men det är ju inget argument för att den är fel, eller? Det är ju inte för att jag skulle vara särskilt smart, eller träffats av en inspirerande blixt som jag menar mig veta bättre i det här fallet. Det beror på att jag ägnat tio år åt att undersöka en massa texter som säger saker om skolmatematiken och fundera över hur dessa texter skall tolkas. Jag har förändrats under detta arbete, ändrat mig, på ett sätt som för mig känns ungefär som att kliva ur en låda, eller att vända mig om. Jag har lärt mig se skolmatematiken på ett annat sätt än man brukar, och det är detta andra sätt som jag försöker förklara i min guide.

Ur min blogg härleder du som jag förstår dig slutsatsen att jag skulle förspråka att man i viss mån "tar bort" matematiken, att man gör den till ett elitämne som bara en mindre grupp elever får ta sig an. Det är kanske en rimlig slutsats, men jag vill gärna vänta med den här frågan om alternativ till den rådande ordningen. Jag är ganska övertygad om att det finns något viktigt, som har med skolmatematiken att göra, som jag inte lyckats förklara och som jag gärna vill få fram.

Alltså: de som ägnar sig åt skolmatematik idag, lärare, forskare, utredare och andra, tänker sig ofta att den är till för att elever skall "lära sig matematik". Men vad eleverna i praktiken gör i skolan beror på en komplicerad följd av händelser som ingen av dessa personer vet särskilt mycket om. Frågan är varför man tänker sig att man lär sig matematik just så. Jag tycker att jag försökt säga detta tusen gånger och vet inte riktigt hur jag skall formulera det för att poängen skall gå fram. Detta med att man skall börja med matematiken så tidigt, ägna så mycket tid åt den, lära sig genom "problemlösning", och mycket annat.

Doxa; med dina ord, boxen, består i att man tar detta för givet. Vad är det man tar för givet?

Alltså - jag märker att risken är stor att jag bara upprepar mig. Jag förstår helt enkelt inte vad det är du inte förstår. Jag försöker ju beskriva doxa i min guide - det verkar poänglöst att göra det en gång till. Mitt intryck är att dina invändningar rör sig på ett slags nutidsplan, som om det inte fanns något djupt och svårt att förstå, som om frågan var ganska enkel och handlade om matematikens plats i skolan. Det jag vill åstadkomma är att man lämnar detta synsätt.

Kanske kan några exempel öppna upp.

Jag jobbar just nu med tyska texter publicerade under första halvan av 1800-talet. En av dessa böcker handlar om räkneudnervisningens historia och publicerades 1888: Die Rechenunterricht in der deutschen Volksschule: Vom standpunkte des erziehenden unterrichts av Berthold Hartmann. Den handlar om två saker: Dels vad som är syftet och målet med undervisning i räkning, dels hur man genom undervisning skall nå detta mål. En sak som är fascinerande med dessa texter, och denna tid och plats, är att sådana som Hartmann, som skrev på 1880-talet, förstod sig själva som slutpunkten på en knappt hundraårig utveckling av teorier kring dessa frågor. De skrev sådant som att: "I huvudsak måste räkneundervisningens metod idag betraktas som avslutad" (s. 87). De betraktade räkneundervisningens metod som lärarseminariernas "glansfack" (s. 88) och var stolta över att, i motsats till andra skolämnen, hade räknemetodikerna skapat sin egen teori, istället för att låna den från filosofin och fackämnena själva. Helt centralt var steget, som enligt dem själva togs på 1850-talet, från att det var matematiker som visst bäst om räkneundervisningen, till att det var pedagoger som visste bäst (tex s. 60).

Vad man kan läsa om i Hartmanns bok från 1888 är en serie av förändringar i synen på räkneundervisnignens mål och medel som i hans perspektiv är en utveckling från det sämre till det bättre. Utvecklingen börjar med en berömd Schweizisk pedagog som heter Henrich Pestalozzi, och inkluderar de relativt välkända pedagogerna Adolph Diesterweg och Johann Friedrich Herbart men framför allt en stor uppsättning okända skolmatematiker, tex. Ernst Hentschel och August Wilhelm Grube.

Det som framför allt karaktäriserar denna utveckling är att de syften och mål som man talar om inte är att man skall lära sig räkna. Man skall inte heller lära sig matematisk teori. Istället talar man om en mängd andra mål som man menar sig kunna nå på räkneundervisningens väg. Här är några exempel på hur det kunde låta:

"Pestalozzi stellte den Unterricht durchaus in den Dienst der Erziehung. Derselbe sollte erziehender Unterricht werden. Als Zweck der Erziehung aber galt ihm die Menschlichkeit. Under dieser verstand er, nach seinem eigenen Worten, die Erhebung der Menschennatur aus der sinnlichen Selbstsucht ihres tierischen Daseins zu dem Umfange der Gegnungen, zu denen die Menschheit sich durch die harmonische Bildung des Herzens, des Geistes und der Kuhnst zu erheben vermag." (s. 61)

Det handlar alltså om uppfostran och om att "höja människonaturen". Detta var emellertid Pestalozzi - i början av Harmanns utvecklingsberättelse. Längre fram kommer tex Jänicke, det jag citerade ovan, om att räknemetodiken var ett i stort sett avslutat område. Citatet fortsätter så här:

"Es ist die Methode, welche den unwandelbaren Gesitzen der Entwickelung des menschlichen Geistes, wie dem Wesen des Lehrstoffs vollständig angemessen ist, welche durch die formelle Bildung zugleich vollen Gewinn für das Leben erzielt, bei welcher also die Zahl und ihre Gesetze den Mittelpunkt bilden, um welchen die sachlichen Verhältnisse sich ordnen. Weder das praktische, noch das geistbildende Element darf überwiegen; nur in der gleichmäβigen Betonung und der gegenseitigen Einschlieβung, Durchdringung und Förderung beider Prinzipien liegt die goldene Mittelstraβe eines rationellen Rechenunterrichts. Sein Ziel ist: Durch Übung der geistigen Kraft Bildung fürs Leben."

Det stora framsteget här, jämfört med Pestalozzi, är att man nu förstått att värdera även det praktiska kunnandet. Men märk väl! Det praktiska kunnandet skall nås så att säga genom det som de kallar "kraftbildning".

En viktig detalj med den här "kraftbildningen" är att den hänger ihop med en metafor om byggande. Man talar om att lägga ett "fundament" om vikten av att inte slarva med det mest elementära, om att ägna mycket tid åt det enklaste. Idén är att man inte egentligen skall ägna så mycket tid åt det man faktiskt skall kunna göra, utan det som man tänker sig ligger till grund för detta görande. Rent konkret innebär detta att man ägnar många år åt de hela talen 1 till 10, på bekostnad av att lära sig operera med de större tal om sedan ofta förekommer i praktiken. Och vad man gör med dessa små hela tal, syftar till "kraftbildning" och är alltså något väsentligen annat än det man gör med tal utanför skolan.

Om man nu lite förenklat går fram till slutet, det som är Hartmanns egen ståndpunkt, så sker faktiskt en rörelse bort från det praktiska igen. Nu är det högsta målet vad de kallar "sedlig bildning". Det som saknats tidigare och som nu tillkommer är formandet av viljan, man skall inte bara bildas, få starkare själskrafter och så vidare, utan också vilja bildas, vilja räkna, vilja förstå. Så det centrala målet blir att forma denna vilja. Man talar också om kärlek, man skall fås att älska objektet, som förstås som talet. Man tänker sig att räknande ytterst handlar om tal och att undervisningens sedlighetsbildande kraft ligger i möjligheten att få elevena att älska dessa tal.

Vad är nu poängen med att berätta om allt detta?

Jo, att det finns en jättestark koppling mellan det Hartmann pratar om och var tids skolmatematik. För det första pratar man om mål och medel på liknande sätt. För det andra ser själva klassrumspraktiken liknande ut.

Ett bra exempel på koppling är kanske detta med "attityder" till matematiken. Man sätter igång stora statliga satsningar på att "förbättra" dessa attityder. Ambitionen är slående lik Hartmanns och Grubes.

Vad jag är ute efter är något som är ganska vanligt inom humaniora och samhällsvetenskap, nämligen att försöka visa fram gammalt tänkande och historiska utvecklingsprocesser som liksom finns inbakade i nuet, i hur vi pratar, i vad vi tar för givet, i vad vi gör. Det här som jag dykt ner i, 1800-talet, tyska texter, är en liten del av det här som jag tycker mig veta något om, som jag vill berätta om, som jag menar är viktigt för att förstå vad detta med skolmatematik är för något.

Här finns också mitt svar på frågan vad som skiljer skolmatematiken från matematiken.

Det här som Hartmann pratar om, det har ytterst lite med den vetenskapliga matematiken att göra. Det är ganska lite att göra med allting annat än det som sker i skolan.

Kanske är ett problem här (jag vet inte!) att du och många andra har svårt att se själva det man gör i skolan som något gåtfullt, märkligt, fascinerande, problematiskt. Det är ju en annan sak man pratar om ganska ofta inom samhällvetenskapen: att ett viktigt första steg är att känna sig främmande inför något som i vanliga fall (för alla de där som är inne i boxen) framstår som normalt och självklart.

Detta blev ganska långt det också, och inte särskilt välstrukturerat, men kanske tar det diskussionen ett litet steg framåt.

Den missnöjda elevens guide till skolmatematiken version 0.88

2011-12-22T05:31:00.000-08:00

Den här texten är lite av ett experiment och säkert i behov av en hel del förbättringar. Vill gärna ha förslag till hur den kan göras mer rätt och begriplig.

Den missnöjda elevens guide till skolmatematiken

Många barn och ungdomar har svårt att se poängen med den matematikundervisning de tvingas ta del av. När de säger detta till sina lärare och föräldrar möts de av argument för varför denna matematikundervisning trots allt är nödvändig och bra.

I diskussionen som uppstår är det svårt för eleven att göra sin ståndpunkt gällande. Situationen är maximalt assymetrisk. Läraren har en statlig propagandaapparat understödd av ett helt forskningsfält i ryggen. Eleven har knappast något mer än sin egen erfarenhet av att något är fel.

Med den här texten vill jag bidra till att jämna ut den här obalansen. Texten innehåller en mängd förslag till hur man kan tänka kring skolmatematiken. Förhoppningsvis gör dom det lättare att förstå vad det är man är med om när man sitter där i klassrummet och räknar.

En fråga som kommit upp när jag pratat med människor om den här texten är att det är fel att, så att säga utsätta elever för en så här hård kritik av skolmatematiken. Det jag påstår är att skolmatematiken faktiskt är så trist och meningslös som den verkar. Det man sagt till mig är att detta är något man inte borde få reda på som elev, för då skulle man bli - jag vet inte vad: apatisk kanske, deprimerad. Och man behöver ju faktiskt bra betyg i matematik. Så det man behöver är därför mycket mer peppning än en sådan här kritisk sågning av skolmatematiken.

Vad skall man svara på det? Jag tänker så här. I skolsammanhang pratar man ibland om bildning. Vad är det att vara bildad? Ja, man kan mena många olika saker med det, men en sak man menar är att man skall kunna reflektera. Kanske kan man också säga så här: man skall vara öppen för att kunna ändra ståndpunkt. Man skall låta sig utmanas av argument. Man skall veta saker om vad som hänt förr i tiden och kunna förstå sin samtid i ljuset av detta. Man skall vara intresserad av vad som är rätt och sant. En känd filosof som hette Immanuel Kant pratade på 1700-talet om "mod att tänka själv".

Det är det jag är ute efter. Jag kan inte förstå hur det skulle kunna vara skadligt.

Skolmatematiken är ett tidskrävande obligatorium

Låt mig börja med att definiera vad skolmatematik är för något.

Mitt förslag till startpunkt är att skolmatematiken är ett tidskrävande obligatorium. För det första, att skolmatematiken bygger på tvång. Alla är tvingade att ta del av dem. För det andra, att den inte är något man tar sig an en eftermiddag för att sedan lägga bakom sig. Nej, skolmatematiken kräver i storleksordningen ett decennium av mer eller mindre dagligt engagemang.

En viktig sak med denna definition är att den kopplar isär argument för ”matematikens nytta” från argument för ”skolmatematikens nytta”. Många argument för varför skolmatematiken är viktig handlar egentligen om att matematiken är viktig. Om man definierar skolmatematiken som ett tidskrävande obligatorium, som något som har med tvång och tid att göra, så blir denna sorts argument ganska irrelevanta. Det spelar helt enkelt ingen roll för diskussionen kring skolmatematik om matematiken är viktig för teoretisk fysik eller månresor, så länge man inte också kan visa att det tidskrävande obligatoriet har någonting med denna matematikanvändning att göra.

På ett liknande sätt är det med argument som har att göra med vardaglig användning av matematik. Exempel som ibland kommer upp när man pratar om skolmatematikens nödvändighet är att man ”behöver kunna matematik” när man skall ändra i recept eller räkna ut hur mycket färg eller tapet man skall köpa när man skall renovera.

Genom att fokusera på skolmatematiken som tidskrävande obligatorium, måste den som försvarar skolmatematiken visa sambandet mellan skolmatematiken och förmågan att ändra recept på rätt sätt och att köpa lagom mycket tapet. Att påvisa något sådant samband är betydligt svårare än att säga att man ”behöver matematik” i en mängd olika sammanhang.

Faktum är att det inte finns några belägg, vetenskapliga eller andra, för något sådant samband. De undersökningar som gjorts pekar snarare på att det inte finns något samband. Bagare och målare utmärks inte av sina särskilt goda resultat i skolan. De som varit duktiga på matte i skolan är inte särskilt duktiga varken på att ändra recept eller köpa lagom mycket tapet.

Något helt annat är att det ju kan verka som om det fanns ett samband, man kan tro det, precis som man kan tro på Gud eller tomten. Mer längre än till tro kommer man inte på den punkten.

Skolmatematiken är en institutionaliserad praktik

Inom samhällsvetenskapen använder man ordet praktik för att tala om sådant som människor gör. Sätter man institutionaliserad framför, så det blir institutionaliserad praktik, så menar man en praktik som är stabil över tid och rum, det vill säga något som människor gör på ungefär samma sätt på många olika platser, och på ungefär samma sätt för säg tio år sedan som idag. Skolmatematiken är en sådan institutionaliserad praktik. Den är tidskrävande, obligatoriskt deltagande i en institutionaliserad praktik.

De som försvarar skolmatematiken försöker ofta att blanda bort korten att börja tala om matematiken istället för skolmatematiken. De talar om hur stor roll den spelar, hur användbar den är, hur viktigt det är med kunskaper i matematik. När man möter denna retoriska strategi skall man föra tillbaka samtalet till det som händer i skolan och fråga efter sambandet mellan den skolmatematiska praktiken och allt det fantastiska som hänger ihop med matematiken. Fråga till exempel hur ditt deltagande i en tråkig och till synes meningslös matematiklektion leder dig till detta goda som matematiken har att erbjuda. Fråga efter belägg för att detta är den bästa vägen till målet.

Det är viktigt att komma ihåg att ett ifrågasättande av skolmatematiken inte är samma sak som att ifrågasätta vetenskapen eller att vara teknikfientlig. Den strategi som jag skall föreslå i den här texten är tvärtom att isolera det som utgör skolmatematikens särdrag, att visa att det tidskrävande obligatoriet faktiskt inte har särskilt mycket med varken teknik eller vetenskap att göra.

Artikulering av skolmatematikens doxa

Vi har nu avgränsat skolmatematiken som ett tidskrävande och obligatoriskt deltagande i en institutionaliserad praktik. Istället för att fokusera på vad denna praktik ”innehåller” – vad man som elev ofta gör – brukar de som försvarar skolmatematiken hellre tala om hur viktigt det är med matematik. Man tänker sig att matematiken är på ett visst sätt och därför måste skolmatematiken finnas och vara på ett visst sätt. Men det sägs sällan rakt ut: så här tänker vi och därför gör vi så och så.

Inom samhällsvetenskapen använder man ordet doxa för att tala om sådana outtalade idéer. Doxa är det som inte behöver sägas, det som alla är överens om, det som är ”uppenbart”. Det vill säga, det som är uppenbart för alla som delar doxan. Till exempel är det ”uppenbart” att alla måste gå i skolan för att lära sig matematik.

När det gäller skolmatematiken kan man säga att det är doxa som får den att framstå som självklar, oundviklig och nödvändig. Anledningen till att skolmatematiken är så svår att kritisera är att denna doxa ofta delas även av de som är kritiska!

Vad vi måste göra är därför att synliggöra vari doxan består, för att sedan kunna visa att den inte är uppenbar och sann på det sätt som den verkar vara. Man kan tala om detta synliggörande som att artikulera, uttala, sätta ord på, doxan. Jag skall försöka sätta ord på vad nästan alla som försvarar skolmatematiken utgår från utan att säga det.

Det är rent allmänt lurigt att sätta ord på något som alla är överens om. Det som ofta händer är nämligen att de som är överens inte känner igen sig i de ord man använder. Och det finns inte ett enda ”rätt” sätt att artikulera doxa. Tvärtom är det snarare så att det är väldigt oklart vad människor egentligen tror på och utgår från, just eftersom att de tar detta något så mycket för givet att de inte funderat så mycket på det. Reaktionen inför frågorna: Är det det här du tror på? Är det på grund av detta som du gör som du gör? blir ofta: nejnej, så är det inte.

Detta skall man ha i bakhuvudet är man försöker artikulera någon annans outtalade utgångspunkter. Man skall inte tro att man får medhåll bara för att man har rätt.

Det som talar till din fördel när du försöker artikulera skolmatematikens doxa är att matematiken (enligt denna doxa själv!) så tydligt hänger ihop med förnuft och rationalitet. De som försvarar skolmatematiken är mer eller mindre tvungna att underkasta sig det förnuftiga samtalets regler. Om de inte gör det, har det ju så att säga motbevisat sig själva. De vill, med största sannolikhet, kunna ange goda skäl till varför de står upp till skolmatematikens försvar.

Det allra enklaste argumentet för skolmatematiken är kanske att ”alla behöver kunna matematik”. Vår definition av skolmatematiken som tidskrävande obligatorium gör att detta argument inte längre duger. För vad är det som säger att man inte kunde lära sig det man behöver kunna på ett annat sätt och långt snabbare? Min poäng är att ett försvar för skolmatematiken måste ta sig an den skolmatematiska praktikens särart.

Skolmatematiken är extremt standardiserad. Alla elever skall göra ungefär samma sak. Det är detta görande som måste försvaras. Och en viktig del av detta är att skolmatematiken tar så enormt lång tid i anspråk. Försvaret måste ta sig an att alla måste göra detta, skolmatematik, så väldigt länge. Det som måste försvaras är idén att alla måste göra samma sak under väldigt lång tid.

Doxa säger att alla måste göra just detta precis så här länge, för att sedan ”kunna matematik”. Det är ”uppenbart”. Varför är det uppenbart?

Med risk, som sagt, för många skall känna sig lite främmande för det jag skriver, skall jag nu försöka artikulera den skolmatematiska doxan dels när det gäller hur man lär sig matematik, dels när det gäller vad det innebär att ha kunskaper i matematik.

Hur man lär sig matematik

När det gäller hur man lär sig matematik är en viktig ”uppgift” för doxan att få det att framstå som självklart att det tar lång tid att lära sig matematik. Genom att titta på hur skolmatematiken är organiserad är det ganska lätt att utveckla detta lite.

”Uppenbarligen” (enligt doxa) är matematiken också något som man bör börja lära sig redan som barn. Det sägs ibland att man inte kan börja nog tidigt.

En annan sak är att det behövs särskilt utbildade lärare för att få lärandet att äga rum. Det finns till exempel ett helt forskningsfält, matematikdidaktiken, som utforskar hur man (enligt skolmatematikens doxa) lär sig matematik.

Den slutsats man kan dra av detta är att detta med att lära sig matematik är något som inte bara tar lång tid, det är något komplicerat som bara sker under speciella omständigheter. Man kan jämföra med att prata. Det lära sig alla utan att gå i skola. Det hör till skolmatematikens doxa att man inte får kunskaper i matematik utan skolmatematik.

Man kan också jämföra med hur man lär sig det man behöver kunna för att bli en duktig läkare. Det är ett bra exempel eftersom det ganska uppenbart både involverar ”teoretiskt” kunnande, att förstå hur en mängd olika komplicerade saker hänger ihop, och ett praktiskt hantverk. Medicin finns inte som ämne i skolan och ingen (?) tänker sig att man inte kan börja nog tidigt med ”medicinen”. Även om få skulle ifrågasätta att det är svårt att lära sig det som man måste kunna för att vara en duktig kirurg, tänker man inte på ett sådant sätt om denna svårighet att det motiverar ett tidskrävande obligatorium liknande skolmatematiken. – Men alla skall ju inte bli kirurger! Men alla skall ju inte heller bli matematiker!

Den svårighet som skolmatematikens försvarare hamnar i är att hon måste påstå att det är den vanliga, vardagliga matematikanvändningen som är så svår att lära sig att den kräver ett decennium av mer eller mindre dagligt engagemang. Är det verkligen så svårt att lära sig ändra recept? Eller att räkna ut arean på en vägg? Och de som kan detta, har de verkligen lärt sig det i skolan?

Ett annat argument för det tidskrävande obligatoriet är att skolmatematiken behövs som förberedelse för att de som vill sedan skall kunna gå vidare och bli ingenjörer och matematiker. Man säger att skolmatematiken behövs för att lägga en grund för alla. Och om inte alla hade fått en sådan grund, skulle inte någon kunna bli matematiker. Hur skall man tänka kring detta argument?

Ja, det finns ju många saker som är svåra, som bara några vuxna gör, till exempel att vara kirurg. Och det utbildar sig nya regelbundet nya kirurger, utan att ”medicin” (eller vad det skulle kallas) är ett obligatoriskt och tidskrävande ämne i skolan. Varför skulle inte detta vara möjligt även när det gäller matematiken?

Det är skolmatematikens doxa som gör dessa frågor möjliga och till och med enkla att besvara.

Skolmatematiken bygger på en föreställning om att det är något mycket speciellt att lära sig matematik. Att lära sig matematik skiljer sig från hur man lär sig andra saker. Och det skiljer sig på ett sådant sätt att matematik är något alla bör börja med tidigt, som alla bör ägna ett decennium åt i skolan, och så vidare.

Helt centralt för skolmatematiken är att kunskaper i matematik är något annat än fakta, något annat än saker som man lärt sig utantill, något annat än att följa regler, något annat än att ha lärt sig formler. Det här kan du gärna prova att fråga precis vem som helst som tar skolmatematiken i försvar. Om de säger att skolmatematik handlar om att lära sig fakta och formler utantill får de väldigt svårt att försvara det tidskrävande obligatoriet. De kommer också ha svårt att hitta meningsfränder.

Så hur lär man sig matematik egentligen, enligt skolmatematikens doxa? Jo, det sker genom en komplicerad process som involverar åskådning och självverksamhet. Detta är två ord som har en lång historia inom skolmatematiken, och de används kanske inte så mycket idag. Om man skall sätta ord på skolmatematikens doxa tycker jag ändå att de är de mest träffande.

Åskådning är viktigast för den del av skolmatematiken som involverar yngre barn. Tanken med åskådning är att man lär sig matematik genom att titta på och pyssla med föremål, snarare än att jobba med siffror och formler.

Självverksamhet innebär att man lär sig matematik genom att tänka själv snarare än att ta in information som man får presenterad för sig. Tanken är att man konstruerar, skapar, bildar, formar sin egen kunskap, och att man inte kan ”ta över” denna kunskap från någon annan. Man talar ibland om problembaserat lärande, det vill säga att man lär sig genom att lösa problem som man ställs inför. Oftast talar man om att bilda eller forma kunskaper, men ibland talar man också om att upptäcka matematiken.

Ordet självverksamhet kommer från det tyska ordet selbsttätigkeit. Det är ett gammalt tyskt ord som knappast används längre, åtminstone inte utanför sammanhang som har med skolan att göra. Vad ordet betyder har väldigt mycket att göra med ett antal filosofiska idéer som hittades på årtiondena kring 1800. Idén med självverksamhet är att man bara kan bli så som man bör vara genom att själv ha kontrollen över den process genom vilken man förändras. Man skall ”göra sig själv”. Man skall vara i en sorts verksamhet där man själv har kontrollen; verksamheten skall vara ”självstyrande” eller kanske ”självutvecklande”. Och vad bör man vara? Som Gud. Det låter väl helt främmande idag, men det var så man tänkte. Att lära sig matematik hängde ihop med att bli som Gud.

Så idén med självverksamhet är att man snarare än att ”skaffa sig” kunskaper, skall bli en sådan som ”kan matematik” och detta kan man bara bli genom att vilja bli det, man måste själv ha satt som mål att bli just detta. Man måste vara intresserad av att bli en sådan som kan matematik och sedan självverksamt sträva efter detta.

Båda dessa två grupper av idéer, de som hänger ihop med åskådning och de som hänger ihop med självverksamhet, får det tidskrävande obligatoriet att framstå som vettigt. I yngre åldrar ägnar man sig mycket åt åskådning, till exempel i så kallade matematikverstäder. Fokus förskjuts sedan allt mer mot självverksamhet i form av problemlösning.

Det är viktigt att se här, att denna praktik kan fungera som praktik, oavsett huruvida det sker något ”lärande” eller inte. Problemlösning, om man nu tar det som exempel, kan ta hur lång tid som helst. Problemen kan göras svårare och svårare och de kan alltid göras fler och fler. Hur lång tid det tar att ”lära sig” beror på hur svåra problem man kräver att eleverna skall kunna lösa vid skolgångens slut.

En konsekvens av dessa idéer om hur man lär sig matematik är att det måste ta tid. Enligt dessa idéer går det i princip inte att får ”riktiga” kunskaper i matematik som vuxen. Matematisk kunskapsbildning (som man ibland kallar det) är en process av utveckling (ett annat ofta använt ord) som inte kan ersättas med några korta veckors hårt pluggande.

Detta är märkligt eftersom människor bevisligen kan läsa in grund och gymnasieskolans matematikkurser på komvux – på betydligt kortare tid än om de gått den vanliga vägen. Har dessa vuxna inte riktiga matematiska kunskaper? Det är en bra fråga att ställa till skolmatematikens försvarare. Om ”Jo” – varför inte byta ut decenniet av barn och ungdomsundervisning mot en termins (eller vad det kan tänkas ta) vuxenundervisning? En ytterligare fördel med detta arrangemang är att de tilltänkta vuxna eleverna, eftersom de är vuxna, också kundes ges tillfälle att själva välja om, när och på vilket sätt de vill få sina kunskaper i matematik.

Vad det innebär att kunna matematik

Men vad innebär det då att kunna matematik?

Idéerna kring åskådning och självverksamhet, idén att vägen mot matematiska kunskaper är lång och komplicerad, hänger ihop med en idé om att det är något väldigt speciellt och värdefullt att kunna matematik.

Det mest centrala bland de outtalade föreställningar som hänger ihop med skolmatematikens mål, de matematiska kunskaperna, är att detta mål är dubbelt.

• Å ena sidan handlar målet om något praktiskt, om att kunna något, till exempel att kunna mäta area och ändra recept eller möjligen att bygga broar och rymdraketer.

• Å den andra sidan handlar matematiska kunskaper om något annat, större och mer svårgripbart, om att förstå, om att skapa ordning i kaos, om att tänka på ett visst sätt, att vara kritisk och kreativ.

Det är svårt att argumentera för att alla behöver 10 år för att lära sig mäta area. Men argumentationen involverar alltid också det andra, som är något mer än det rent praktiska. Man talar om sådant som matematiskt tänkande, matematisk problemlösningsförmåga, logiskt tänkande, kritiskt tänkande, matematisk kreativitet och många andra liknande saker. Vad det handlar om är, kan man säga, en sorts omvärldsuppfattning, ett sätt att uppfatta världen, där matematiken fungerar som en resurs för att skapa ordning där det annars skulle ha varit rörigt. Den här sidan av de matematiska kunskaperna handlar om förmågan att förstå.

De som argumenterar för skolmatematiken talar ibland om förmågan att lyssna på argument, att diskutera på ett bra sätt, att fungera bra i det demokratiska samhället och sådant. Allt detta handlar om den andra, högre, mer svårgripbara sidan av de matematiska kunskaperna.

Den absoluta kärnan i den skolmatematiska doxan består i övertygelsen att dessa två bra saker – den väl avgränsade och enkla praktiska färdigheten och den svårgripbara matematiska omvärldsuppfattningen – inte kan skiljas från varandra. Man tänker sig att samma institutionaliserade praktik skall leda till båda dessa mål.

Idén att dessa två saker hänger ihop är inbyggd i själva idén om kunskaper i matematik. Det är därför det är viktigt, om man vill kritisera skolmatematiken, att ta sikte på själva denna idé. Från denna idé om kunskaper, följer den skolmatematiska praktiken som ett brev på posten. Det går inte att kritisera den skolmatematiska praktiken på ett effektivt sätt, utan att samtidigt (eller kanske först) ta sig an den idé om kunskaper i matematik som skolmatematiken hänger ihop med.

Vad händer om man bryter sönder de matematiska kunskaperna i sina beståndsdelar? Man kan till exempel fråga sig vad man behöver kunna för att göra om ett kakrecept som är gjort för 40 kakor till ett som istället ger 60 kakor. Hur skulle en skolmatematik se ut som bara tog sikte på detta, och en mängd andra lika väl avgränsade problem?

Och om man istället fokuserar på den andra sidan av de matematiska kunskaperna, förmågan att lyssna på argument, att tänka kritiskt, att fungera bra i det demokratiska samhället utan att få några praktiskt användbara färdigheter – hur skulle en sådan skolmatematik se ut?

Skolmatematikens kosmos

Skolmatematikens doxa hänger ihop med en mer övergripande världsbild. Jag kommer att här att tala om denna världsbild med hjälp av ordet kosmologi. Med det menar jag just en idé om hur världen hänger samman och vad den består av.

Det kan tyckas långsökt att gå från en diskussion om skolmatematik till en diskussion av ”hur världen hänger samman”. Var är poängen med det? Poängen är samma som när det gällde att gå från en diskussion av skolmatematiken till den doxa som sätter ramarna för hur man kan prata och tänka kring den. Jag menar: om man har en viss idé om hur man lär sig matematik, och en viss idé om vad det innebär att kunna matematik – då kan utrymmet vara ganska litet att föreställa sig alternativ till skolmatematiken så som den ser ut idag.

Det jag vill att vi skall göra nu är att ta ytterligare ett steg från doxan, till den kosmologi som doxan är en del av. Skolmatematiken är nämligen sådan att den är väldigt mycket sammanvävd med en hel världsbild, på ett sådant sätt att den framstår som helt oundviklig, om man är ”inne” i denna världsbild.

Sen är det såklart också så att jag inte vill att man behöver reda ut hur hela världen hänger ihop, bara för att man skall kunna reflektera kring skolmatematiken. Poängen är bara den här: att det finns en idé, som hänger samman med skolmatematiken, om att matematik är något som finns i världen på två olika sätt. Dels finns matematiken ”där ute”, i världen, till exempel i form av naturlagar. Dels finns den ”i oss människor”, i form av kunskaper. Det viktiga är att matematiken antas vara något som har denna speciella egenskap att kunna finnas på dessa två olika sätt.

Är detta hårklyveri? Nej, det är faktiskt väldigt viktigt, för det hänger ihop med idén om de två olika men sammanvävda målen, och även med idén om åskådning och självverksamhet. I själva verket är det många saker här som hänger ihop på ett ganska intrikat sätt – utan att någon kanske egentligen har överblick över hur dessa saker hänger ihop: åskådning, självverksamhet, praktisk nytta, omvärldsuppfattning, obligatoriet och att det tar så väldigt lång tid att lära sig matematik.

Den idé som jag vill fokusera på är att matematiken på ett unikt sätt så att säga binder samman oss människor med världen. Denna idé är flera hundra år gammal. Betydligt äldre än skolmatematiken faktiskt.

Det finns en mängd personer som artikulerat denna idé på olika sätt. En av dessa är matematikdidaktikern Ole Skovsmose. Han förespråkar vad han kallar kritisk skolmatematik. Han vill ändra på skolmatematiken; göra den till något som hjälper människor, snarare än – som nu – stjälper dom.

Problemet med Skovsmoses förändringsförslag är att det utgår precis exakt från den kosmologi som skolmatematiken hänger ihop med. Konsekvensen av detta är att hans kritik blir av ett särskilt slag som jag längre fram i den här texten kommer att kalla ”standardkritik”. Mer om det strax alltså.

Skovsmose tänker sig att matematiken spelar en väldigt viktig roll för hur samhället fungerar. Han har myntat uttrycken ”matematikens formatterande kraft” och ”frusen matematik”. Hans idé är att matematiskt tänkande så att säga ligger bakom till exempel teknik (som datorer och bilar) som spelar en viktig roll i samhället. Eftersom matematik används när samhället har skapats är matematiken så att säga inbyggd i samhället självt. Denna tanke är väldigt lik hur man kan tänka sig att matematiken är inbyggd i naturen, i form av naturlagar. Skovsmose har skapat en social variant av denna bild av naturen. Han har matematiserat samhället; gjort det i sig självt matematiskt.

Sedan, i nästa steg, säger han att det enda sättet att förstå sig på samhället, är genom att att se denna matematik och det kan man bara om man har kunskaper i matematik.

Skovsmose är väldigt ifrågasättande och kritisk, och han är ett bra exempel på hur det kan gå om man inte går till botten med skolmatematikens doxa och den kosmologi som jag skriver om här. Vad som händer är att konsekvensen av hans kritik, trots att han är aldrig så kritisk, faktiskt blir att ge ett starkt stöd till skolmatematiken. För enligt Skovsmose är det bara genom skolmatematiken som man kan få de där matematiska kunskaperna alla behöver. Skovsmose vill att skolmatematiken skall reformeras. Han är inte motståndare till det tidskrävande obligatoriet.

Ungefär detsamma gäller Mogens Niss, en annan ganska känd forskare i matematikdidaktik. Han har myntat uttrycket ”matematikens relevansparadox”. Med detta menar han att de som argumenterar för skolmatematik har ett stort problem eftersom bara de som har matematiska kunskaper ser och förstår hur viktig matematiken är. Faktiskt säger Skovsmose ungefär samma sak: att det bara är genom att kunna matematik som man kan se och förstå att samhället är ”frusen matematik”. Båda är eniga i samma slutsats: att alla behöver lära sig matematik.

Man kan säga att Ole Skovsmose och Mogens Niss artikulerar den kosmologi som skolmatematiken hänger ihop med. De preciserar den, på olika sätt. Båda två menar att skolmatematiken måste reformeras. Samtidigt är de båda två övertygade om att skolmatematiken behövs. De ifrågasätter inte den doxa som får själva idén med ett tidskrävande obligatorium att framstå som vettig och nödvändig. Det tror att kunskaper i matematik är något otroligt viktigt som bara skolmatematik kan leda till.

Sen är det tyvärr lite mer krångligt än så.

En viktig pusselbit för att förstå detta med skolmatematik är nämligen att många av de som argumenterar för skolmatematiken på ett lite märkligt sätt också argumenterar mot den. Det människor brukar argumentera för är faktiskt inte skolmatematiken, utan snarare matematiken och vikten av att alla får de där dubbla matematiska kunskaperna, som både är praktiskt nyttiga och skapar – som Skovsmose och Niss uttrycker det – en förståelse för hur verkligheten egentligen är.

Den skolmatematiska praktiken är en ritual

Skovmose och Niss pekar på en viss möjlighet till tänkande och förståelse som de tänker sig att matematiken öppnar för. Skolmatematiken har emellertid också en annan sida. En mörkare sida, kan man säga.

Skolmatematiken liknar i mångt och mycket en ritual.

Det här kan man säga i allmänhet, och förmodligen få medhåll även från många av skolmatematikens försvarare. Jag skall vara lite mer exakt, och precisera man kan mena med ordet ritual. En känd antropolog som heter Roy Rappaport definierar en ritual på följande sätt:

- Det är en praktik där det inte är människorna som deltar i den som bestämmer vad de skall göra. Vad de skall göra är, till en viss grad, istället förutbestämt på något sätt.

- Det är en praktik som sker på en särskild plats, som följer ett särskilt schema, som är noga reglerad och ofta på ett eller annat sätt är ganska repetitiv.

- Det är en praktik som är stabil i tid och rum, det vill säga: det görs på ungefär samma sätt på många olika platser och på ungefär samma sätt för några år sedan som idag.

Skolmatematiken passar väldigt bra in på denna definition.

Skolor och klassrum är en väldigt speciell miljö som inte liknar så mycket annat i samhället. Under lektionerna är det varken eleverna eller lärarna som bestämmer vad som skall ske: i stor utsträckning är det förutbestämt av läromedel, kursplaner, nationella prov med mera. Elevens väg genom skolmatematiken följer en ganska noga reglerad plan. Vad eleven gör är noga övervakat och reglerat (och det gäller för den delen ganska mycket även läraren). Skolmatematiken är repetetiv, den är standariserad och den förändras inte särskilt mycket över tid.

Det är inte särskilt troligt att någon som försvarar skolmatematiken skulle ifrågasätta detta.

Det intressanta och komplicerade är nu att skolmatematikens doxa, som säger hur skolmatematiken bör vara, är ganska förenlig med skolmatematiken som ritual. Samtidigt klingar ordet ritual inte särskilt bra. Vill de som försvarar skolmatematiken ha en skolmatematisk ritual? Nej, det vill dom inte. Eller: om de vill ha en ritual så vill de med största sannolikhet ha en ritual som är rolig och meningsfull. Och så som skolmatematien ser ut idag är den, verkar det som – och detta kan ju du som elev vittna om – tvärtom ofta tråkig och till synes meningslös.

När man kritiserar skolmatematiken är det väldig viktigt att ha en bra förståelse för relationen mellan de som försvarar skolmatematiken och det faktum att skolmatematiken i mångt och mycket är en ritual. Jag skall nu försöka förklara hur denna relation ser ut.

Ambivalens och reformlust

Något man nästan alltid vid någon punkt möter när man kritiserar skolmatematiken är att den man argumenterar med börjar hålla med. Den som till att börja med tog skolmatematiken i försvar håller nu med om att skolmatematiken faktiskt ofta är trist och meningslös. Är man då överens?

Nej, den avgörande skillnaden ligger i vad man tänker sig måste göras. Om man utgår från den kosmologi som passar skolmatematiken, och skolmatematikens doxa, så framstår det som uppenbart att skolmatematiken behövs. Inte nog med det – det framstår också som självklart att man bara kan lära sig matematik genom åskådning och självverksamhet, och så vidare. Detta är något helt annat än den slutsats man kan komma till om man går lite djupare, och ifrågasätter även dessa utgångspunkter.

Det viktiga att förstå här är att nästan alla som håller på med skolmatematik har ett ambivalent förhållande till skolmatematiken sådan den faktiskt är. Å ena sidan är det ju skolmatematiken man försvarar. Å andra sidan tycker man inte om den. Det man tycker om är snarare matematiken.

Det är inte minst på grund av denna förskjutning, från skolmatematiken till matematiken, som det blir väldigt viktigt att förstå skolmatematikens doxa. Detta eftersom det är denna doxa som gör att man faktiskt kan försvara skolmatematiken genom att försvara matematiken. Doxan knyter ihop de två. Poängen är att man försvarar en viss idé om matematiken som gör skolmatematiken nödvändig.

Oavsett hur det ser ut när diskussionen börjar kan du som kritiker, om du sköter dig bra, räkna med att den som försvarar skolmatematiken börjar tala om nödvändigheten av att ändra på skolmatematiken. Hon vill inte längre försvara den så som den faktiskt är, utan vill istället tala om något annat, som inte finns, men som skall finnas i framtiden.

Resonemanget är följande: skolmatematiken är kanske trist och meningslös idag, du kanske varit med om något jättetråkigt, kanske får till och med de allra flesta snarare ångest en kunskaper av skolmatematiken. – Men! Det kommer alltid ett ”men” och här fungerar verkligen detta ord som ett suddgummi. ”Men” skall få dessa erkännanden, dessa fakta om skolmatematiken kunde varit helt förödande för dess rykte, att framstå som en ovidkommande detalj.

I ljuset av detta ”men” blir alla argument, alla fakta om skolmatematiken, allt lidande den orsakar, meningslösa. Skolmatematiken kan vara hur idiotiskt meningslöst plågsamt ångestskapande som helst. Det spelar ingen roll.

Det viktiga är istället matematiken, att man behöver ”kunskaper i matematik”, att det är roligt att lära sig matematik, att den behövs för tillväxten och demokratin. Matematiken har nu plötsligt ingenting alls att göra med skolmatematiken. Å ena sidan är skolmatematiken nödvändig för att ge alla de kunskaper i matematik de behöver. Å andra sidan har skolmatematiken, i den mån den är meningslös och skapar ångest, ingenting med matematiken att göra.

Vilken kritiker som helst kan bli förvirrad över denna vändning. Precis i denna punkt i diskussionen är det som svårast att hålla tungan rätt i mun.

Det som hänt är att den som försvarar skolmatematiken flyttat fokus från skolmatematiken sådan den är, till skolmatematiken så som hon önskar att den vore. – Jo, kan man svara, det är ju en fin idé du har där, om en obligatorisk, tidskrävande institutionaliserad praktik men den finns ju inte!

– Men vi håller på att ändra allt precis just nu! Det där du talar om, det tråkiga och meningslösa, vi är så medvetna om detta, och det är så olyckligt. Stackars dig, och stackars alla andra som drabbast av detta. Dumma skolmatematik! Men idag, precis idag, eller kanske imorgon, så skall allt bli helt annorlunda. Skolmatematikens försvarare är bra på att lova, eller åtminstone på att hoppas.

De är också bra på att behöva – även om det är en sida som du som elev inte ser så mycket av. För att kunna ändra på allting så behöver de resurser. Men det är en annan historia.

En helt avgörande konsekvens av försvararens förskjutning av fokus, från skolmatematiken sådan den är, till en idé om hur skolmatematiken skulle kunna vara, är att argument som bara handlar om själva skolmatematiken inte fungerar för att kritisera den.

I själva verket ägnar sig skolmatematikens försvarare själva väldigt mycket åt precis sådan kritik, som handlar om hur skolmatematiken är, och jämför den med hur de tänker sig att den skulle kunna vara. Jag har hittat på uttrycket ”standardkritik” för att prata om detta. Detta är det vanligaste sättet att kritisera skolmatematiken.

Om man vill kritisera skolmatematiken ordentligt måste man akta sig för att hamna i ”standardkritik”. Den leder ingen vart. Dess kännetecken är att den utgår från skolmatematikens doxa.

Det är på grund av denna fälla som jag ägnat så mycket utrymme i den här texten åt just skolmatematikens doxa.

Om man skall kritisera skolmatematiken ordentligt, på ett sätt som gör att den kanske förändras eller försvinner, måste man ta sikte på de outtalade utgångspunkter som får själva idén med skolmatematiken att framstå som vettig.

Jag skall nu ta upp lite forskning, inom olika områden, som pekar mot att dessa outtalade utgångspunkter är felaktiga, och att skolmatematikens inte bara inte fungerar, utan inte ens kan fungera.

Skolmatematiken är i detta avseende som åderlåtning (dvs låta människor blöda under kontrollerade former för att på så sätt bota dom från olika sjukdomar). Åderlåtning har aldrig haft någon positiv effekt. Det har aldrig hjälpt människor att bli friska. Däremot så har många som blivit åderlåtna som blivit friska ändå. Och man har också kommit på, när man undersökt åderlåtandet historiskt, att olika saker som hängde samman med åderlåtandet, miljön som det skedde i och så vidare, faktiskt hjälpte en del att bli friska. Själva åderlåtandet däremot, och detta är ju självklart för oss idag, stjälpte snarare än hjälpte.

Tänk nu att en åderlåtande läkare konfronterades med statistik som visade att åderlåtning statistiskt sätt leder till att människor dör oftare och fortare, snarare än tvärt om. (Faktum är att denna konfrontation faktiskt ägt rum!) Om han skulle göra som skolmatematikens försvarare skulle han hävda att åderlåtningen inte skett på rätt sätt, att det är en gammal sorts traditionell åderlåtning som man ägnar sig åt och att han är i full färd med att reformera den. I framtiden, minsann, skulle han säga, kommer åderlåtning att bota människor, istället för att, som nu, döda dom. Och – om konsekvenserna av detta försvarstal skulle vara de samma som de är för skolmatematiken – sedan skulle den reformerande läkaren få pengar för att kunna trycka upp en informationsbroschyr med riktlinjer för ”modern” åderlåtning. Samtidigt som åderlåtandet fick pågå, obehindrat, som vanligt.

Skolmatematik är som åderlåtning. Det är en skadlig praktik baserad på felaktiga idéer om hur man lär sig sådant man har nytta av och vad det innebär att ha kunskaper över huvud taget. Jag skall nu gå in lite mer i detalj på vad det är som är fel med skolmatematikens doxa.

Frågan om transfer

En viktig förutsättning för att skolmatematiken skall framstå som förnuftig är att man kan lära sig något på en plats som man sedan har nytta av på en annan plats. Det måste vara möjligt att lära sig något i ett klassrum som man sedan har nytta av på andra platser, till exempel hemma i köket eller på en arbetsplats.

Det är många som funderat kring om detta är möjligt. Man använder ordet transfer för att prata om det här. Transfer betyder att man kan ”flytta kunskap” mellan olika platser.

Skolmatematiken bygger på att man kan flytta ”kunskaper i matematik” mellan olika platser. Den utgår från att man kan ”få” kunskaper i skolan som man sedan kan ”använda” på andra platser än i skolan.

Jag sätter citationstecken runt en del ord här. ”Få” och ”kunskaper i matematik” och ”använda”. Det beror på att de här frågorna är svåra att prata om. Det beror i sin tur på problemet med att artikulera som jag skrivit lite om tidigare. Detta att sätta ord på vad människor utgår från och uppfattar som uppenbart. Problemet är att människor inte känner igen sig i de ord man använder, och detta oberoende av vilka ord man använder.

När du diskuterar transfer med någon som tar matematiken i försvar kan du räkna med problem. Det bästa att göra i en sådan situation är kanske att fokusera på kärnfrågan: att skolmatematiken äger rum i skola och att den på något sätt skall vara till nytta utanför skolan.

Ett ord som har använts väldigt mycket för att prata om hur detta med transfer fungerar är begrepp. Man har talat om matematiska begrepp som det som man skall bli resultatet av att man deltagit i skolmatematikens tidskrävande obligatorium. Dessa begrepp skall formas eller skapas eller bildas eller upptäckas. Det finns många olika sätt att prata om vad det är man tänker sig skall hända i skolan.

Det är ganska självklart att vissa sorters kunskaper kan flyttas mellan olika platser. Till exempel är det ju uppenbarligen så med saker man lärt sig utantill. Om du vet att 7*8=56 så vet du ju det oberoende av var du befinner dig.

En annan sak som också är ganska självklar är att om du lärt dig göra något sådant som att äta med kniv och gaffel så påverkas inte denna förmåga särskilt mycket av var någonstans det är du äter. Att cykla är ett annat bra exempel på sådan kunskap. Kan du cykla i Sverige så kan du också cykla i Norge.

Men hur är det nu med skolmatematiken?

Är den som i det första exemplet? Skall man sätta fingret på något typiskt för detta exempel så är det att det inte spelar någon roll hur man lärt sig att 7*8=56. Detta vetande är inte knutet till någon särskild lärandepraktik. Det finns inget djup i sådan kunskap. Den är platt. Antingen vet man vad 7*8 är eller så vet man det inte. Och det är ganska enkelt att säga när man har nytta av denna kunskap. Nämligen när frågan uppstår om vad 7*8 blir.

Det som skall bli resultatet av deltagandet i skolmatematikens tidskrävande obligatorium är inte någon sådan platt utantillkunskap. Om det vore så, skulle inte skolmatematiken behöva ta så otroligt lång tid. Det skulle också vara svårt att argumentera för obligatoriet – för hur hemskt är det att inte veta vad 7*8 är? Man överlever. Och om man inte gör det så är det svårt att påstå att det skulle vara särskilt märkvärdigt att lära dig det.

Det är tvärtom väldigt viktigt för skolmatematiken att den är en särskild praktik, en praktik där något komplicerat händer som man kallar formandet av matematiska kunskaper. Kärt barn har många namn. Ibland tar man i och talar om kunskapsbildningsprocessen.

Detta fokus på praktiken gör att det matematiska kunnandet tycks ha mer likheter med att kunna cykla än att kunna gångertabellen. Att lära sig cykla är uppenbarligen en praktik. Man kan inte lära sig cykla genom att någon säger till en hur man gör. Man kan inte lära sig det från en bok. Man måste ha en cykel och sedan öva sig.

Fast det som skiljer kunskaper i matematik både från att cykla och att spela schack är att man tänker sig att matematiska kunskaper spelar roll på ett mycket mer allmänt sätt. Att kunna cykla har man bara nytta av när man skall cykla. När har man nytta av sina matematiska kunskaper?

Det hör till skolmatematikens kosmologi att livet i det ”moderna samhället” kräver kunskaper i matematik jätteofta. Det är som om det jätteofta uppstod situationer där man behöver ”cykla någonstans” med sina matematiska kunskaper.

Jag tror att chansen är ganska stor att den som du argumenterar med köper den här liknelsen. Det låter bra: att kunna matematik är som att kunna cykla.

Problemet är bara att ingen lyckats visa att matematiska kunskaper är på det här sättet.

Det finns en avgörande skillnad mellan att lära sig cykla eller lära sig spela schack, och å andra sidan att lära sig matematik. Cykla gör man på en cykel, och man har en cykel såväl när man lär sig cykla som när man sedan cyklar. Schack gör man på ett schackbräde. Man kan säga att de här sakerna, tingen, bidrar till att skapa en viss situation. En praktisk situation som är samma när man lär sig som när man ”använder”. Man gör samma sak. Lärandet och användandet är samma praktik.

Som jag skrivit om ovan så kan man beskriva den skolmatematiska praktiken som en ritual. Den skolmatematiska praktiken är väldigt speciell. Och enligt den skolmatematiska doxan så skall den också vara väldigt speciell. Den måste vara det för att kunskaper i matematik kan ta form. Här kommer vi igen tillbaka till den skolmatemtaiska kosmologin. Man tänker sig att matematik är något väldigt speciellt. Därför tänker man sig att detta att lära sig matematik också måste vara något väldigt speciellt.

Den situation där man lär sig matematik liknar inte alls de situationer där man skall ha nytta av sina matematiska kunskaper. Skolmatematikens doxa säger att matematiska kunskaper är på ett sådant sätt att detta inte spelar någon roll. Men det finns inga belägg för att det är på det sättet. Det finns inga belägg för att skolmatematik kan fungera, att det finns något sådant som kunskaper i matematik som beter sig på det sättet som de borde göra om världen verkligen var så som den skolmatematiska kosmologin säger att den är.

Man kan göra en vetenskapshistorisk parallell. Jag talade ovan om åderlåtning. Det kunde ha fungerat, men det fungerar inte. På samma sätt är det med skolmatematiken. Det låter bra, men nej: det fungerar inte. Själva idén bygger på en idé om hur världen är som är fel.

Istället är det så att det man lär sig när man deltar i skolmatematiken är väldigt knutet till just denna rituella praktik. Självklart är det många som blir bättre och bättre på något när de deltar i skolmatematiken. Man vad de blir bättre på är att prestera just där.

Om man skall läsa en bok om detta med transfer så skall man läsa antropologen Jean Laves Cognition in Practice från 1988.

När man diskuterar detta med transfer är det ganska troligt att den man diskuterar med faller tillbaka på det ”uppenbara”, det vill säga doxa. Det är då bra att veta att även det som verkar uppenbart kan vara fel. ”Är det inte bra att kunna matematik?”, ”Behöver inte alla lära sig matematik?” När man möter dessa ”självklarheter” så måste man försöka hålla kvar fokus på problemet kärna: det tidskrävande obligatoriet och allt det som får själva idén med ett sådant tidskrävande obligatorium att framstå som förnuftigt. Kom ihåg att alla blir tvingade. Och det de blir tvingade till är inte ”att lära sig matematik” utan att delta i en väldigt speciel praktik. En praktik som kan beskrivas som en ritual.

Kom ihåg jämförelserna med ekonomi eller medicin. Det är också svåra saker, men det finns ingen skolekonomi eller skolmedicin i samma bemärkelse som när det gäller skolmatematik.

Jean Lave är antropolog. Hon är en av många antropologer som funderat över och undersökt detta med vad människor gör och vad det innebär att människor kan något. Hon är expert på detta. Hon säger att detta med transfer inte fungerar så som det måste fungera som skolmatematik skall vara en förnuftig idé. En bra fråga till den du diskuterar med är vad han eller hon baserar sina argument på. Är de baserade på forskning? Sociologisk forskning? Antropologisk forskning? Historisk?

Det är ganska troligt att den du argumenterar snarare utgår från det som är ”uppenbart”.

Möjligen utgår han eller hon från matematikdidaktiken. Se då till att precisera frågan. Fråga efter undersökningar av transfer. Det finns ytterst få sådana undersökningar och om det är något resultaten av dessa undersökningar säger, så är det att skolmatematiken inte fungerar.

Nätverk, standardisering och samhällets reproduktion

Om kunskaper i matematik inte är något generellt verktyg som man kan skapa sig i skolan och sedan använda utanför skolan, vad är det då? Det verkar ju som om kunskaper i matematik är något väldigt användbart. Hela skolmatematiken utgår ju från att de är något man kan forma sig eller bilda sig, eller hur man nu uttrycker det.

Ett alternativ till detta sätt att förstå saken är att tänka att det vi pratar om som ”kunskaper i matematik” är knutet till en viss sorts mätande praktiker. Nästan alltid när man talar om kunskaper i matematik som syftar man till syvende och sist på resultat på matteprov. Det kan vara ”nationella” prov eller prov i internationella undersökningar som PISA eller TIMSS. Eller så handlar det om betyg. Man säger att eleverna inte fått ”tillräckliga kunskaper” och då menar man att de inte fått godkänt betyg. Och det beror såklart i sin tur, igen, på något provresultat.

Det man måste göra nu, för att kunna krisiera skolmatematiken ordentligt, är att frigöra sig från tanken att dessa prov mäter något. Det är ju nämligen så man tänker sig det hela utifrån skolmatematiken doxa. Det finns något där: kunskaperna. Och dessa finns det mer eller mindre av. De kan vara på ett eller annat sätt.

Istället för att tänka att proven är som mätinstrument, som mikrofoner som mäter hur starkt något låter eller som vågar som väger hur tungt något är, skall man tänka att de är som delar i en fabrik, som skapar något. Man skall tänka sig att proven hänger ihop med ”lärandepraktiken”. De är båda delar av samma fabrik.

Skillnaden är väldigt viktig.

Det något som man enligt skolmatematiken doxa tänker sig att proven mäter, är så att säga gjort av matematik. Det har en form, eller hur man nu skall uttrycka det, som är given, som kommer från matematiken. Det är denna form som ger kunskaperna alla sina fantastiska egenskaper, som sin dubbelhet och sin flyttbarhet. Matematiken ger formen, skolmatematiken fyller på med innehåll.

Alternativet är att tänka sig att alltihopa beror på skolmatematiken själv. Det som händer är att eleverna lär sig spela ett spel, eller leka en lek. De har övat sig på en viss sorts problem, som man kallar ”matematik”. De övar sig på lektionerna och allteftersom de blir bättre så säger man att de får ”mer kunskaper”. Så gör man ett prov. Ett prov som ganska mycket liknar övandet. Och så får man ett kvitto. Sen kallar man detta ”kunskaper i matematik”.

Och det som händer när man anväder ordet matematik är att denna egenskap hos eleverna, deras förmåga att spela skolmatematikens spel, kopplas loss från detta spelande, och kopplas på till matematiken. Tack vare skolmatematikens kosmologi knyts förmågan ihop med naturen, samhället, livet och universum.

Och då framstår det såklart som väldigt viktigt hur ”mycket man kan”.

Men om man tänker att det som mäts är förmågan att spela att säreget spel. Då framstår det inte alls som så viktigt.

Eller?

Jo, det är ju viktigt, för det spelar roll om man får bra eller dåliga betyg.

Men detta beror på hur samhället fungerar. Hur man valt att det skall fungera, eller så som det blivit – kanske utan att någon egentligen haft kontrollen över hur.

Det man skall komma ihåg, när man kritiserar, är att det är betygen som spelar roll, resultaten på vissa mätningar. Man kallar dessa mätresultat för ”kunskaper i matematik”. Men vad det i grund och botten handlar om är förmågan att spela ett spel.

Denna förmåga är viktig i samhället, men det beror på att samhället är ordnat på ett sånt sätt att den gjorts viktig, genom den roll som betyg i matematik spelar i olika sammanhang.

Kom ihåg att detta inte har något att göra med huruvida matematiker är viktiga för samhället, eller ingenjörer, eller forskare. Man säger att de ”använder matematik”, och det är inte direkt något fel i det. Vad de inte använder är förmågan att ”spela skolmatematik”. Kanske var matematikerna och ingenjörerna en gång duktiga på skolmatematik! Troligtvis var de det, för annars skulle de väl inte kunnat ta sig till dessa yrken. Men de använder inte denna förmåga i sin yrkesutövning.

Slutsats

Det finns mycket mer att säga om skolmatematiken. Till exempel om dess historia. Men det får räcka här.

Har jag hjälpt någon? Det återstår att se. Jag har försökt skriva enkelt men de idéer jag försökt förklara är svåra. Kanske låter det hela bara konstigt. Kanske vill du som läser detta mycket hellre stanna i standardkritikens klagan över hur bra skolmatematiken skulle kunna vara om den bara gjorde matematiken rättvisa.

Kanske är du som läser detta en av skolmatematikens försvarare, som hittat kryphål och fel i texten som låtit dig vila i din tro.

Skolmatematiken är djupt rotad i samhället och i det sunda förnuftet. Genom att den är ett tidskrävande obligatorium och genom den roll betyg i matematik spelar så är den en realitet. Den är en del av verkligheten. Man har den rakt framför ögonen. Den är uppenbar.

Att se den på ett annat sätt, att se den som något annat, kräver oundvikligen ett stort arbete.

Den dolda läroplanens genomskinlighet

2010-10-25T01:05:00.000-07:00

Jag skall här försöka förklara en idé rörande skolmatematiken som nästan uteslutande bygger på resonemangen i Robert Pfallers bok Die Illusionen der anderen (2002). Pfallers huvudreferenser är Freud, Octavio Mannoni, Lacan och Johan Huizinga. Hans stora bedrift är att med hjälp av psykoanalys och Huizinga presentera en klargörande tolkning av en mängd enkelt observerbara kulturella fenomen.

Jag försöker använda Pfallers tolkningsmodell för att förstå skolmatematiken. Detta innebär att jag här har två olika uppgifter. För det första att presentera och förklara Pfallers resonemang. För det andra att knyta dem till skolmatematiken. Självklart är det heller inte fråga om någon enkel användning, utan om ett försök att tänka skolmatematiken genom Pfallers idéer. Jag kommer därför att både behöva berätta om vad skolmatematik är och förklara hur den kan förstås i Pfallers terminologi.

Mitt huvudsakliga syfte är att sprida ljus över skolmatematiken. Vad jag försöker göra kan emellertid ses som ett specialfall av ett mer allmänt projekt, nämligen att förstå skolans ämnen som relativt autonoma "ideologimaskiner" (eller ideologiska statsapparater, för att använda Althussers terminologi) som bidrar till någon typ av gemensam modern och västerländsk subjektivitet och som bidrar till skapandet av ett gemensamt modernt socialt imaginärt (Castoriadis).

Mitt resonemang utgår från ett antal nyckel-idéer. Var och en av dessa kommer jag dels förklara i relativt allmänna termer, dels knyta till det specifikt skolmatematiska.

1. En förbjuden handling
=========================
Låt mig börja med idén om en förbjuden handling, eller möjligen också: en förbjuden njutning. Idén kommer från Freud och handlar hos honom såklart om enskilda individer. För mig handlar denna tanke både om enskilda individer och om ett mer övergripande samhällsfenomen. Detta behöver å andra sidan inte vara helt olika saker. Jag tänker mig att samhällsfenomenet uppstår som en följd av en viss typ av "standardiserad" subjektivitet där många människor fungerar på ungefär samma sätt.

Handlingen måste vara förbjuden, men den måste också finnas en anledning att utföra den, den måste vara lockande eller av en eller annan anledning påbjuden. Det är inte nödvändigt att tala om "njutning" och denna term kan kanske för vissa kännas främmande och avskräckande. Det väsentliga är att handlingen "måste utföras", men "inte kan" utföras - för enskilda individer såväl som på en övergripande samhällelig nivå.

För skolmatematikens del kan denna handling beskrivas i termer av disciplinering, utestängning och sådant som att hålla barn sysselsatta och därmed borta från arbetslivet (så att de varken arbetar själva eller stör sina föräldrar). Det är idag förbjudet och tabubelagt att se skolmatematiken som en instans vars syfte är att disciplinera, stänga ute och sysselsätta. Om detta skall ske, måste det ske "som något annat". Det sker, menar jag, genom skolmatematik (bland annat).

Detta innebär inte att vi inte ser och "inser" att skolmatematiken fyller dessa sociala "funktioner". Tvärtom! Det vet vi mycket väl. Det väsenliga är att vi (dvs det moderna sunda förnuftet) inte kan acceptera att skolmatematiken fyller dessa funktioner, och i synnerhet inte att detta är dess syfte eller att den är "bara" detta. Enkelt uttryckt är det något vi vet men inte tycker om, något vi ser som ett tillfälligt olycksfall, något vi försöker motarbeta och justera.

Mitt argument i fråga om detta förbjudna har en historisk dimension. Det har inte alltid varit tabu att tala om folkundervisning i disciplinerande termer. Tvärtom. Relativt godtyckligt kan man välja 1840-talet som en tidpunkt som ligger "före" tabuproblematiken. Då handlade folkundervisning snarast om ordning, om att säkerställa en viss relativt konstant samhällsstruktur. Ambitionerna var inte onda. De innefattade att förhindra de värsta sorternas armod och elände. Men ambitionen var inte att hjälpa var och en så långt upp i samhällshierarkin som möjligt, att låta samhället organiseras efter meritokratiska principer eller att realisera varje människas inre potential. De breda lagren, folket, skulle lära sig frukta Gud, lära sig att det finns en ordning där man har en plats som bestämts på förhand, en plats som är ens egen och som man gör bäst i att älska. Man talade ofta om frihet i termer av att förstå och känna sig tillfreds med det "nödvändiga", nämligen samhället så som det är.

Så kan vi inte längre se på skolan. Det är förbjudet och tabu. Mer exakt blev detta tabu kring sekelskiftet 1900, men den process jag skall beskriva har åtminstone två steg. Ett steg togs kring sekelskiftet 1900, ett andra togs, tror jag, kring 1970.

I takt med att demokratiska och meritokratiska ideal fick en allt mer dominerande ställning i samhället, blev den tidigare skolan omöjlig att tala om på samma sätt som tidigare.

2. Ersättningshandling
=======================
Nästa centrala idé är idén om en "ersättningshandling". Det är en handling som utförs istället för den handling som är förbjuden. Denna handling skall förstås som en kompromiss, en "kompromissbildning" (Pfaller, Freud), som genom möjligen ganska komplicerade mekanismer, i synnerhet det Freud kallar förskjutning, för subjektet, i viss mån, kan fungera som en ersättning av den förbjudna handlingen. Ersättningshandlingen är också, om än på andra sätt, njutningsfull. I den mån den förbjudna handlingen får en viss typ av effekter, så får ersättningshandlingen motsvarande, om än något annorlunda, effekter.

Min tes är att det moderna utbildningssystemet, och i synnerhet den moderna skolmatematiken, kan förstås som en sådan ersättningshandling. En ersättning för de mekanismer som tidigare bidrog till att skapa ordning i samhället. Självklart är det inte fråga om någon exakt "ersättning". Om inte annat är det samhälle som den nya handlingen, den nya institutionen, ingår i ett annat än det tidigare. Det väsentliga är att den nya handlingen har en motsvarande funktion, nämligen att bevara samhällets ordning.

Det som gör handlingen till en "ersättningshandling" är att det nya samhället - de demokratiska, meritokratiska idealen - gör att denna funktion inte kan utföras "öppet". Annorlunda uttryckt: den ordningsskapande funktionen måste i det moderna samhället utföras under andra diskursiva och "imaginära" förutsättningar, nya regler för vad som är tillåtet och inte tillåtet att säga och tänka, andra regler för vad som är legitimt. (Angående legitimitet, se Boltanski och Thevenot, On Justification, 1991 på franska, 2006 på engelska.)

Ersättningshandlingar verkar tvingande på subjektet, de måste utföras och utförs på ett tvångsmässigt sätt. Relationen till denna handling blir laddad och förbunden med starka känslor. Enkelt uttryckt går det inte att föra enkla rationella samtal om denna typ av handlingar. Den som utför dem kan inte riktigt genomskåda varför hon gör som hon gör, men känner starkt att handlingen är "nödvändig" och måste utföras.

När det gäller det tvingande momentet kan man tänka på tvångsmässigt tvättande, eller den enorma lusten att titta på fotboll live på TV, eller vilken som helst typ av beroende där inte det kemiska spelar huvudrollen, tex spelberoende.

För skolmatematikens del förstår vi detta tvång i termer av behovet av kunskaper i matematik. Det är omöjligt att tänka det moderna samhället utan skolmatematik. Kanske är det viktigt att här poängtera att termen "skolmatematik" inte skall förstås pejorativt utan snarast som "den institution som syftar till att i unga år ge alla människor de kunskaper i matematik de behöver för sitt fulla deltagande i det moderna samhällslivet", i motsats utbildningar till specifikt matematiska yrken.

Det är med andra ord matematiken som binder oss (det moderna subjektet) till skolmatematiken. Det är som om matematiken gjorde skolmatematiken nödvändig.

3. Bekännelseobjekt
====================
För att ersättningshandlingen skall kunna fylla sin funktion måste den i någon mening motsvara den handling som ersätts. För att förstå hur detta går till i skolmatematikens fall behöver man förstå Pfallers distinktion mellan "vidskeplighet" och "bekännelse". I Pfallers bok spelar vidskeplighet huvudrollen och det är även denna typ av tro han tar upp först. Här skall jag istället börja med att ta upp den senare "bekännnande" typen av tro.

Bekännande tro är tro som vi står för. Det kan rör sig om tro på demokrati, Gud, kommunism eller marknadsekonomi. Av central betydelse här är tro på matematik och tro på kunskaper i matematik.

Min tes är att skolmatematiken hänger samman med en bekännande typ av tro på matematiken. Jag menar att det hör till det moderna samhällets sunda förnuft, till dess doxa, att vara övertygad om det allmänna behovet av kunskaper i matematik. Till detta hör en (ofta oartikulerad) visshet om att det finns matematiskt formulerbara naturlagar som gäller överallt i universum, att matematiken spelar en central roll inom vetenskapen och att kunskaper i matematik kan vara till stor nytta för att förstå en mängd olika fenomen och för att lösa små och stora problem.

Det är inget konstigt med detta. Jag tror också på naturlagarna.

Tämligen intrikat är emellertid relationen mellan denna bekännande tro och skolmatematiken förstådd som ersättningshandling. Det är nämligen tron på matematiken som gör skolmatematiken möjlig som ersättningshandling. Man kan säga att skolmatematiken framträder i matematikens ljus, att skolmatematiken får sin mening, sin bestämning, av matematiken och matematikens egenskaper.

Två centrala egenskaper hos matematiska kunskaper är: 1) att alla behöver dem samt 2) att skolmatematiken är den instans, den institution, den praktik, den "handling", genom vilken de skall komma till stånd, skapas, produceras, bildas.

Därigenom implicerar tron på matematiken skolmatematikens nödvändighet.

Man kan också vända på detta orsaksförhållande och säga: vi tolkar vår tvångsmässiga bindning till skolmatematiken genom matematiken, genom att tillmäta matematiken en viss uppsättning egenskaper. Skolmatematikens historia talar för att många av matematikens egenskaper - inte de egenskaper den tillmäts av forskande matematiker, utan de egenskaper den har för det sunda förnuftet - har sitt ursprung i skolmatematiken och ett behov av att få den att framstå som meningsfull.

Alla ersättningshandlingar behöver inte bekännelseobjekt. Följande två exempel är hämtade från Pfaller:
1) En akademiker är ambivalent inför läsande. Hon känner att hon måste älska att läsa, men vill egentligen inte, och hatar i själva verket lästvånget. Hon har därför satt i system att dra mängder av kopior som hon samlar på, dock utan att sedan läsa dem. Kopierandet är en ersättningshandling, en kompromissbildning. Pfaller säger att denna handling "fungerar" genom vad han kallar en "genomskådad fantasi", eller här mer träffande: en fantasi som ingen någonsin skulle stå för och som i detta fall är helt omedveten, nämligen att kopieringsmaskinens avläsning av böckerna skulle motsvara läsande. Vår akademiker bekänner sig inte till denna föreställning. Likväl kan handlingens effekter, dess funktion, förstås i termer av denna fantasi. Hon känner en stor lust, ett tvång, att kopiera, och kopierandet leder till en lättnad, en befrielse.
2) En person är enormt intresserad av TV, och det finns massor av program som hon bara måste se. Det finns dock inte tid, och hon spelar därför in programmen på video (nja, DVD kanske). Det märkliga är emellertid att det sedan inte heller finns tid att se det som spelats in. Banden läggs på hög och spelas över. Pfaller tolkar detta som att relationen till TV-tittandet är kluven, på samma sätt som akademikerns relation till bokläsande. Det blir befriande att låta videon titta på programmen - så att man själv får tid till annat.

I dessa två fall skulle det förbjudna vara att "inte läsa", respektive att "inte se på TV". Det är viktigt att poängtera att det varken är något sjukt eller speciellt dåligt med denna typ av "lösning" på de problem som de respektive förbuden - eller kanske mer exakt hat-kärleks-relationerna - utgör. Lösningarna är relativt oproblematiska, och kan ses som livsbejakande: man spelar in sina TV-program, drar sina kopior, fördjupar sig inte mer i det, och ägnar sig sedan åt något annat, något man har lust att göra.

Den bekännande tro som saknas i båda dessa fall spelar en viktig roll då det gäller skolmatematik. Helt i linje med Pfallers resonemang tycks matematiken nämligen generera en plikt och göra handlingen till en handling som bara kan utföras som ett lidande och "med sammanbitna tänder". Matematiken gör skolmatematiken till en plåga som vi, trots allt, måste underkasta oss. Dvs. vi tycker i själva verket inte om skolmatematiken, som regel njuter vi föga av att delta i den - varken som elev, lärare eller på något annat sätt, men genom vår tro på matematiken "inser" vi dess nödvändighet. Vi kan säga: tyvärr tar skolmatematiken mycket tid i anspråk, tyvärr är den en plåga för många, men likväl: alla behöver kunskaper i matematik!

Pfaller knyter bekännelseobjektet till vad Freud kallar idealjag och vad den slovenske filosofen Slavoj Zizek (med Lacan) kallar imaginär identifikation. Bekännelseobjektet ställs upp som ett ideal, som något man idealiserar, som något man identifierar sig med. Han knyter det också till narcissism.

Vi njuter av att "inse" matematikens egenskaper. Matematiken genererar en plikt, som vi "med sammanbitna tänder" kan utvinna narcissistisk njutning i att underkasta oss.

Man kan till exempel säga: "Jag kan väldigt lite matematik, och matematiklektionerna var en plåga - men jag vet likväl att matematik är något mycket viktigt, att den behövs", och i detta njuta av att man trots sitt lidande håller fast vid sin bekännande tro på matematiken.

Pfaller skriver:

Das Bekenntnis ermöglicht ihnen die narzißtische Befriedigung der Selbstachtung: Sich in Übereinstimmung mit dem reklamierten Bekenntnis zu wissen oder sich wenigstens darin wähnen, bedeutet einen narzißtischen Triumph. (p 68)

Pfaller menar att vi, när vi underkastar oss vår bekännande tro, upplever att vi håller fast vid ett värdefullt ideal och motstår "frestelser". Vi tror att vi står upp för vår autonomi. Men sanningen är den motsatta:

Je weniger ein Subjekt aus der Notwendigkeit seiner eigenen Natur handelt, desto verbissener hält es an der Illusion der Selbstbestimmtheit fest und verfolgt seine Heteronomie, nur om ja ze ”beweisen”, daß sie keine ist. (p 245)

4. Behovet av reformer
=======================
Skolmatematiken framträder i matematikens ljus, som den institution genom vilken matematiken skall realiseras. Det är dock uppenbart att den misslyckas med detta. Hur är det, mot bakgrund av detta uppenbara misslyckande, möjligt (för det moderna sunda förnuftet) att fortsätta förstå skolmatematiken som ett realiserande av matematikens ideal?

Den lösning som Pfaller (med Freud) talar om är en mer eller mindre konstant strävan att reformera. Om man historiskt ser bekännelseobjektet som något som vid en viss tidpunkt introduceras, leder alltid detta till en viss "reformskjuss" som hänger samman med en viss ritualfientlighet.

Bekännelseobjektet gör med andra ord två saker med ersättningshandlingen:
1) Den får den att framstå som meningsfull, eftersom den hänger samman med och framstår som en (i och för sig misslyckad) realisering av objektets egenskaper. För skolmatematikens del innebär detta att den tolkas som den institution som skall bibringa människor de matematiska kunskaper de behöver. Detta kan jämföras med när folkundervisning på tex 1830-talet istället hade långt mer blygsamma ambitioner.

2) Den får den att framstå som väsentligen misslyckad och i behov av genomgripande reformer. Den "motsvarar" bekännelseobjektet bara som i det närmaste objektets motsats, vilket leder till en stark olust, en fientlighet, till handlingen. Intressant nog består likväl kopplingen till bekännelseobjektet och jag skall försöka förklara mekanismerna bakom detta i det följande.

Pfaller skriver:

Mit der Gesinnung ist im Prozeß der fortgesetzen Verschiebung ein qualitativ neues Element aufgetreten. Der scheinbare Unsinn der zwanghaften Verrichtungen scheint schlagartig einem Sinn gewichen zu sein. Die den immer läppischer werdenden Ritualen innewohnende Verachtung ist nun in Achtung (vor dem Sinn) umgeschlagen. (p 158)

Pfaller talar i detta sammanhang om ”självförnöjsamhet” (p 158), något som passar ganska bra för skolmatematikens företrädare: de vet mycket väl hur illa ställt det är med skolmatematiken, men berörs inte nämnvärt, eftersom det inte är den det handlar om. Målet är praktiker som helt svarar mot en egna övertygelsen. Men - och detta visar sig genom historien - praktiker får alltid en annan och mer mening än de har avsett som skapat dem.

I sättet att tala om skolmatematiken finns en ofta ganska direkt fientlighet, för att inte säga ett hat, riktat mot institutionen, det praktiska, handlingen, det faktiskt närvarande, aktualiteten.

Precis på samma sätt som Foucault beskrivit angående fängelsesystemet, kan skolmatematikens historia under de senaste 150 åren ses som en lång rad alltid lika fruktlösa reformförsök.

5. Framträdelsen och dess motsats
==================================
Man kan även se att skolmatematiken får bära bördan att förklara varför det ideal som matematiken representerar inte realiseras. Dvs, enligt en logik som kan tyckas besynnerlig: skolmatematiken - den institution som bär ansvaret att realisera matematikens potential - framstår då man talar om den, som orsaken till att matematikens ideal ännu inte är realiserade. Å ena sidan är det genom skolmatematiken som matematikens ideal skall realiseras. Skolmatematiken misslyckas med detta. Men detta tillstånd av icke-matematik upplevs inte som neutralt, utan som om skolmatematiken aktivt hindrade matematikens ideal från att realiseras, det vill säga som om matematiken bar på en potential som skulle realiseras om det inte vore för att skolmatematiken hela tiden förhindrade detta.

Logiken stämmer med de effekter Pfaller förklarar att ett bekännelseobjekt kan få på hur en ersättningshandling framträder. Objektet kan nämligen få handlingen att framträda som sin egen motsats. Några exempel på denna logik är när krig förs i Guds namn, och människor dödas i en kamp för kärlek och liv. Pfaller nämner abortmotståndare som mördar läkare, i livets namn. Djurrättsaktivister som släpper ut minkar mot en säker död tycks falla inom ramarna för denna logik.

Det besynnerliga med skolmatematiken är alltså att den å ena sidan, de facto, av alla, med hat, betraktas som en regelrätt plåga, ett misslyckande, en institution i skriande behov av reformering, som leder till segregering och ger många elever dåligt självförtroende. Likväl framstår den som en institution vars högre syfte, och som till sin "essens", handlar om något helt annat, fullständigt motsatt detta, nämligen allt det som förknippas med matematik: användbarhet, kreativitet, självförtroende, och så vidare.

Och igen vill jag påminna om att jag inte tänker mig att matematiken är något givet som bestämmer skolmatematikens framträdelse, utan att matematiken i egenskap av bekännelseobjekt får sina egenskaper genom mekanismer som inte kan skiljas från skolmatematiken.

6. Den genomskådade fantasin
=============================
Skolmatematiken tycks samtidigt framträda på två motsatta sätt: å ena sidan som en plåga och ett hinder, å den andra som den instans som skall och bör realisera det goda som förknippas med matematiken. En central roll i detta fenomen spelar vad Pfaller kallar "vidskeplig tro" eller "genomskådade fantasier". Pfaller använder de tyska orden "einbildung", "aberglaube" och "illusionen". Jag kommer att tala om genomskådade föreställningar, genomskådade fantasier och om vidskeplighet.

Genomskådade föreställningar får här (med Pfaller) sin innebörd i kontrast mot bekännande tro, eller föreställningar man bekänner sig till.

Skolmatematiken hänger samman med en bekännande tro på matematiken, men den hänger även samman med en viss genomskådad fantasi. Denna fantasi befinner sig till synes mellan skolmatematiken som föremål för hat och fientlighet, och matematiken i egenskap av idealiserat objekt.

Att förstå den genomskådade fantasin logik är, tror jag, en nyckel för att förstå skolmatematikens plats i det moderna.

Skolmatematikens genomskådade fantasi är att den skolmatematiska praktiken, sådan den de facto är, är meningsfull och knyter an till verkligheten utanför skolan.

Denna föreställning (eller fantasi) framträder diskursivt på en mängd olika sätt, men till exempel i tal om "traditionella undervisningsmetoder". Karaktäristiskt för dessa metoder är att ingen av de som talar om dem, själv står för dem. Det är alltid andra som använder och försvarar dem: metodiker från förr, lärare som inte hängt med, trångsynta föräldrar och elever månne.

Till denna genre hör även kritik av "orealistiska räkneuppgifter", den typ av små problem som läroböcker innehåller: fragment av verkligheten sammanfogade enligt den elementära matematikens principer till en lagom munsbit för elever på olika stadier i sin väg mot skolmatematisk expertis. Ingen tror att dessa uppgifter på ett meningsfullt sätt svarar mot hur verkligheten är eller hur den kan bemästras.

Hit hör även kritik av betyg i allmänhet och provresultat i synnerhet, som aldrig i praktiken, de facto, svarar mot det som man egentligen vill mäta, de matematiska kunskaperna, problemlösningsförmågan, kreativiteten och vad det vara månde.

Fantasin, som ingen tror på, är att undervisningen, sådan den faktiskt är ("traditionell") är meningsfull, att praktiken handlar om verkligheten utanför skolan, och att prov och betyg motsvarar en grad av bemästrande av matematiken, objektet vi bekänner oss till.

Det märkliga, och som stämmer med det Pfaller säger om genomskådade fantasier, är att vi i många avseenden förhåller oss till skolmatematiken som om dessa fantasier vore sanna - trots att vi inte själva tror på dem och står för dem. Vi betraktar skolmatematiken som enormt viktig och nödvändig, och ser det som en plikt att ta del av den och låta våra barn ta del av den, trots att vi vet att den inte är det den påstås vara, och samtidigt som vi kräver genomgripande reformer.

Skolmatematiken utövar att tvingande krav - och vad gäller hörsammandet av detta krav kan man bokstavligen tala om dubbla känslor. Det moderna samhället, dess sunda förnuft och doxa, är djupt kluvet inför skolmatematiken. Ambivalent. Och enligt Pfaller (med Freud och Lacan) hänger ambivalens intimt samman med tvångsmässighet. Den grundläggande mekanismen är, enligt Pfaller, att två motstridiga impulser förenas i ersättningshandlingen: å ena sidan den lust som är förknippad med det som måste undvikas - i det här fallet den kraft som ligger i behovet av disciplinering och utestängning, även om man här kanske inte skall tala om njutning och lust - och å den andra lusten att förhindra just detta, att göra motsatsen till detta, att verka för att hjälpa de svaga, stärka demokratin, osv. Skolmatematiken utgör en kompromissbildning som där båda dessa motsatta mål förenas, och tvånget att "utföra den", det vill säga den kraft med vilken skolmatematiken är låst till en viss plats i det moderna samhällets "symboliska struktur" är därför enorm.

En intrikat och central mekanism ligger i själva genomskådandet. Pfaller skriver:

Unbestimmten anderen eine Illusion zu bieten und ihr selbst ze entgehen, ist offenbar eine beträchtliche Lustquelle. (p 45)

Det ligger med andra ord en njutning och tillfredställelse i själva det faktum att vi ställer oss utanför det plågsamma maskineri som skolmatematiken i praktiken utgör. Vi "inser" att detta inte är något gott. Vi ställer oss, kan man säga, på matematikens sida.

Den genomskådade fantasin och tron vi bekänner oss till skapar en möjlighet till ställningstagande, där vi utvinner njutning av att välja "rätt sida". Men detta ställningstagande vore inte möjligt enbart i ljuset av den "rätta" sidan - även dess motsats behövs. Vi älskar att upprepa för oss själva och andra hur fel vi inser och vet att det genomskådade är. Poängen är, för det första, att vi därmed bidrar till att hålla denna fantasi levande, och för det andra, att det bara är genom exakt denna mekanism som fantasin upprätthålls.

7. Spelets heliga allvar
=========================
Om nu detta är hur skolmatematiken framträder så att säga från utsidan, när man tänker på den och talar om den - hur är det att delta i den skolmatematiska praktiken? Pfaller talar om själva praktiken, utförandet av ersättningshandlingar, i termer av Johan Huizingas term "heligt allvar".

Idén är att spel och lek (tyskans "spiel") hänger samman med ett förhöjt allvar och förstärkta känslor - allvar och känslor starkare än de som upplevs och kan upplevas i den "verkliga" verkligheten, i den verklighet som "tas på allvar". Att det ligger något i detta kan lätt observeras, till exempel i hur fotbollsfans förhåller sig till sina fotbollslag, eller i hur det känns att faktiskt spela ett spel (tex fotboll) "på allvar". Vad Pfaller gör är att förklara mekanismerna bakom detta förhöjda allvar genom sina resonemang kring ambivalens, genomskådade fantasier och ersättningshandlingar.

Vad gäller skolmatematiken vill jag med hänvisningen till termen "heligt allvar" bara peka på en viktig egenskap hos den skolmatematiska praktiken (och skolans många praktiker i allmänhet), nämligen deras allvar. Ivan Illich skriver angående detta:

Classroom attendance removes children from the everyday world of Western culture and
plunges them into an environment far more primitive, magical, and deadly serious.
School could not create such an enclave within which the rules of ordinary reality are suspended, unless it physically incarcerated the young during many successive years on sacred territory. The attendance rule makes it possible for the schoolroom to serve as a magic womb, from which the child is delivered periodically at the school days and school year's completion until he is finally expelled into adult life. (Deschooling Society, p. 25)

Skolan, det moderna utbildningssystemets inre, är med andra ord enligt Illich en värld långt mer allvarlig och ödesdiger än det samhälle skolan syftar till att förbereda eleverna för. Idén om lekens heliga allvar stämmer väl med Illich observation.

Skolmatematiken passar väl in på antropologen Roy Rappaports definition av en ritual (i Ritual and Religion in the Making of Humanity, 1999):
1) Vad som sker är bestämt på förhand av andra än de som handlar. Här kan vi tänka både på kurs- och läroplaner och på alla de instruktioner som finns inbakade i läromedel och metodhandledningar, men också på allt det som traderas oartikulerat genom lärarutbildning och ute på skolorna - understött av skolornas arkitektoniska utformning, adminstrativa system osv.
2) Vad som sker är relativt invariant, dvs konstant i tid och rum. Enorma ansträngningar har gjorts och görs kontinuerligt för att upprättahålla en sådan konstans. Man kunde tänka sig att de många reformerna skulle ha lett till att praktiken förändrats över tid, men någon sådan förändring har reformerna inte lett till - vilket också är en central komponent i det resonemang som förs här.
3. Verksamheten präglas av formalitet, den sker på särskilda tidpunkter och på särskilda platser, den är ofta repetitiv. Stor omsorg ägnas åt att det som sker sker på rätt sätt.
4. Det som som sker är verkligen något som sker och ageras - dvs skolmatematiken är inte fråga om något som bara finns nedskrivet i en bok eller en manual.
5. Slutligen inkluderar Rappaport i sin definition kriteriet att verksamheten inte är "instrumentellt effektiv", dvs Rappaport räknar inte in handlingar som syftar till, och även realiserar, uppnåendet av ett visst påtagligt konkret specifikt mål. Skolmatematiken uppfyller även detta krav, genom den komplicerade relationen mellan dess högre bestämmelse och insisterandet på att skolmatematiken inte lever upp till denna bestämmelse.

Skolmatematiken är formaliserad och repetitiv. Man kan här tänka på utformningen av vanliga läroböcker i matematik: de är fyllda av hundratals uppgifter att lösa, var och en med ett entydigt svar. Uppgifterna utförs, ofta under tystnad (visst: ibland får eleverna arbeta tillsammans), en lösning föreslås och korrigeras om nödvändigt i jämförelse med facit. Detta "övande" avbryts då och då av "prov", då den expertis man övat upp att delta i denna praktik prövas - något man talar om i termer av att "mäta kunskaper".

Vad jag vill peka på är, som sagt, allvaret i dessa prövningar, ett allvar som inte på något sätt kan reduceras till en subjektiv upplevelse. Tvärtom får dessa formella, i tid och rum avgränsade, prestationer livsavgörande konsekvenser och detta faktum avspeglas i alla de mer eller mindre strikt reglerade handlingar som omgärdar själva prövningarna. Proven omgärdas av "heligt allvar", och enligt Pfaller hänger detta allvar samman med en "genomskådad fantasi", nämligen - menar jag - skolmatematikens grundläggande genomskådade fantasi av att motsvara verkligheten. Det vill säga: proven utförs "som om" det som mättes var "kunskaper i matematik", kunskaper som bildats genom de många timmarnas övande, där en större kvantitet svarar mot ett bättre provresultat, och en större kvantitet svarar mot en större förmåga att hantera "vardag och yrkesliv".

Väsentligt är här hur allvaret, vår benägenhet att fylla praktiken med allvar, och praktikens öppenhet för att så att säga "laddas" med sådant allvar, hänger samman med en viss upplevelse av undantag, ett visst "sättande inom parentes" som hänger samman med själva genomskådandet. I den mån någon skulle säga att allvaret är "för stort", så är detta på förhand assimilerat i det grundläggande hatet mot skolan och kan besvaras: "Självklart är allvaret för stort!" I den mån någon säger att proven inte mäter "riktiga kunskaper" är svaret detsamma: "Nej, sannerligen är det fördjävligt. Proven är ju meningslösa!"

Intressant är här hur två fantasier är verksamma som så att säga tar ut varandra. Å ena sidan den genomskådade fantasin som säger att skolan "inte bara är skola", det vill säga fantasin om hur matematiken gör att skolan handlar om verkligheten, om hur skolan genererar "kunskaper i matematik", dvs något som alla är överens om att skolmatematiken gör i högst begränsad utsträckning. Å den andra bidrar detta genomskådande till att göra skolan till "bara skola", vilket innebär att den - trots att den från insidan präglas av ett allvar större än det verkliga livets - som praktik inte tas på allvar på samma sätt som det allvarliga och väsentliga. På ett sätt som motsvarar den respekt man alltid visar mot matematiken, ser man på skolan med förakt och ointresse. Den måste reformeras, javisst! Men man låter gärna någon annan göra jobbet.

8. Handlandets magiska effekter
================================
I vilken mening finns det en "tro" på de fantasier som i övrigt är genomskådade? Beviset, om man får kalla det så, för att det finns en tro på de genomskådande fantasierna är att skolmatematikens får effekter som om fantasierna vore sanna.

Vår relation till skolmatematiken är, som jag beskrivit ovan, komplicerad. Relativt enkelt är det likväl att konstatera att betyg - i synnerhet betyg i matematik - spelar en viktig roll för att reglera människors karriärvägar, och att denna funktion sällan, om någonsin, är föremål för kritik. Trots all den kritik som riktas mot processen, undervisningsmetoderna, mätningsmetoderna, så står slutresultatet säkert.

När vi förhåller oss till "betyg i matematik" är det som om dessa vore mått på "kunskaper i matematik" - oberoende av hur påtagligt medvetna vi är om att skolmatematiken de facto inte leder till sådana kunskaper.

Vad Pfaller påpekar angående detta fenomen är att det inte heller är möjligt för oss att så att säga "välja" om vi skall tro på skolmatematikens effekter eller inte. Pfaller exemplifierar i detta sammanhang med ett troligtvis ganska vanligt fenomen, nämligen hur vi, om vill till exempel är försenade eller i sista stund måste avboka något, kan känna skuld, trots att orsaken till att vi är sena eller inte kan komma är helt legitima. Det vill säga: trots att vi mycket väl vet att vi inte har någon anledning att känna skuld, och trots att de övriga deltagarna i arrangemanget förstår och inte skuldbelägger oss, så känner vi likväl skuld. Skulden tycks uppstå "mekaniskt" som en följd av vissa objektiva omständigheter. Det är denna mekanism som Pfaller är ute efter att förstå.

Pfaller tar som ett annat exempel upp effekten av att tvingas leka en lek eller spela ett spel. Antag att vi av någon tvingades att göra en eller en annan av våra nära vänner illa. Själva valet genererar, menar Pfaller, i detta fall en skuld - trots att både vi själva, den som tvingar oss, och den som drabbas, vet att vi handlat under tvång.

Pfaller tar i detta sammanhang upp hur artighet och hövlighet kan utöva en tvingande kraft på oss. Om vi möter en chef som vi inte respekterar kan det hända att vi likväl (skriver Pfaller) känner oss bundna till artighetens konventioner - och det viktiga i med exemplet är att detta också kan få reella konsekvenser, det objektiva handlandet förändrar relationen mellan de som utför handlingen - vår fiendskap minskar.

Hit hör även det faktum trolleriformler måste sägas högt. Man kan inte trolla genom blotta tanken. Det är som om trollkonsterna måste utföras för en någon som tittar och lyssnar.

För att förklara bland annat dessa fenomen inför Pfaller i sitt resonemang vad han kallar "den naive betraktaren". Detta är en "psykosocial" instans (min term, inte Pfallers) som reglerar handlingars effekter. Pfallers "naive betraktare" motsvarar mer eller mindre exakt Lacans "store Andre".

Det är den naive betraktaren som ger oss skuldkänslor när vi kommer för sent, för dels ser han att vi är sena, men tyvärr är han för korkad för att förstå den lite komplicerade orsaken till att vi är sena. Det är den naive betraktaren som ger oss skuld när vi handlar under tvång - för han förstår inte att vi är tvingade. Den naive betraktaren tror givetvis på traditionella undervisningsmetoder, han tror att prov mäter kunskaper, att skolans övningar motsvarar verkligheten och så vidare. Det är den naive betraktaren som verkställer magiska effekter - och, som är välkänt, han gör det ofta utifrån en bokstavlig och möjligen ganska korkad tolkning av det som sägs och görs, helt oberoende av den trollandes intentioner. Det är den naive betraktaren som tror att en kopiator kan läsa och likställer videons inspelning med TV-tittande.

Ett exempel som både Pfaller och Zizek tycker om rör "burkskrattets" effekter på den TV-tittandes upplevelse. Komediserier på TV innehåller nästan alltid inspelat skratt, och att detta arrangemang fått sådan utbredning beror med största sannolikhet på att det "fungerar". De som tittar njuter med av det roliga om de hör andra skratta, även om de är fullt medvetna om att skrattet är inspelat och pålagt i efterhand. Idén om den naive betraktaren kan sprida ljus över detta. Den naive betraktaren ser oss sitta där och titta på TV, och han hör skrattet - men förstår inte att det inte är vi som skrattar. Efter hans förstånd så har vi därför haft det väldigt trevligt, mycket trevligare än om vi suttit där och tittat i tystnad. Vi upplever med andra ord vårt eget TV-tittande utifrån den naive betraktarens perspektiv.

Två saker är viktiga här. För det första att den naive betraktaren är just naiv, och en betraktare, det vill säga att han utgår från det han ser och hör och tolkar det bokstavligt. För honom är med andra ord skolmatematiken just det som vi andra genomskådar och ser att den faktiskt inte är. För det andra är vi underställda denne betraktares omdöme. Vi ser oss själva genom hans ögon.

Man kan fråga sig i vilken mån denne naive betraktare finns. Som jag ser det är denna instans en användbar nyckel för att förstå en mängd fenomen. Hans existens visar sig så att att säga i sina effekter. Bitar faller på plats när man ser att saker sker "som om" denne naive betraktare existerade.

Det är i den naive betraktarens ögon som betyg likställs med kunskapsmått och i förlängningen utgör legitima mått på människors värde. Ingen behöver bekänna sig till denna föreställning, det räcker att den naive betraktaren tror för att vi skall vara tvungna att underkasta oss föreställningens konsekvenser.

Man kan här närma sig en förståelse av hur skolmatematiken verkar som en ideologisk statsapparat. Den är ett spel som vi tvingas spela, som genererar effekter, meningseffekter, som vi - oberoende om vi tror på dem eller inte - är bundna att underkasta oss.

En fråga som väckts under mitt arbete med skolmatematiken är vem det är som är den tilltänkta läsaren till den mängd texter som skrivs på temat: skolmatematiken måste förändras, och detta är vad vi kan uppnå om vi bara gör matematiken rättvisa.

Mot bakgrund av det ovanstående är det självklara svaret: för den naive betraktaren. Men man kan säga mer än så om dessa texter. Det verkar troligt att de fyller en viktig funktion i förhållande till matematikens moraliska förpliktelse. De är, kan man säga, en form av botgöring: de återkommande satsningarna, den långa raden av utredningar och rapporter, är offer på matematikens altare: genom dem demonstrerar vi (våra politiker) vår tro på matematiken.

Det tycks emellertid inte långsökt att i detta även läsa in ersättningshandlingens logik. Satsningarna är ett sätt att slippa att på egen hand ta sig an matematiken. För vad vet man om matematik? Och vad tycker man egentligen om den? Älskar man den? Hatar man den kanske? Är man likgiltig? Det spelar ingen roll: i offentlighetens ljus är man tvungen att demonstrera sin tro.

Med andra ord är det inte bara skolan som är ett liksom självgående maskineri, utan även de institutioner som producerar "tolkningen" av denna maskin, de som om och om igen uttrycker kravet på förändring, som om och om igen uttrycker - i tryckta publikationer - att vi inte är nöjda med hur det är, som förklarar att vi så gott vi kan försöker att förändra. Allt detta sker för den naive betraktaren, för att befria oss från skuld. Ytterst få verkliga personer läser dessa rapporter. Den enda väsentliga läsaren är den naive betraktaren (vad Lacan kallar den store Andre). Det är genom hans "läsning" som rapporterna fyller sin samhälleliga funktion.

9. Imaginär och symbolisk identifikation
=========================================
Zizek skiljer (med Lacan) mellan imaginär och symbolisk identifikation. Imaginär identifikation är identifikation med något eller någon som vi vill likna, någon som vi idealiserar, en fantasi. Den imaginära identifikationen hänger samman med vad Freud kallar idealjag, en bild av hur vi tycker att vi borde vara, som vi strävar efter och som vi jämför oss själva med. Att bekänna sig till matematiken är att knyta den till sitt idealjag och identifiera sig med den imaginärt.

Man kan säga att hela det moderna samhället ställer upp matematiken som ett gemensamt imaginärt ideal. Det moderna samhället tecknar en bild av hur det vill vara, och hur det tror att det borde vara, genom matematiken. Det ser matematiken som en nyckel till förbättring. Detta gäller även på ett individuellt plan: de matematiska kunskaperna innefattar en bild av en ideal medborgare; av ett idealt modernt subjekt. Skolmatematikens kunskapsmått får sin mening i förhållande till detta ideal.

Skolmatematiken formar sina deltagare att knyta sin subjektivitet till detta ideal. Konsekvensen blir inte bara i praktiken olycklig, utan enligt Pfaller även olycklig i princip. Han menar att den imaginära identifikationen hänger samman med bekännande tro, att den är en "inbillning" i den bemärkelsen att man är "inbilsk" och inbillar sig att man "är någon". Den hänger samman med en önskan att vara något bättre än man redan är, och som drivkraft för handling hänger denna önskan samman med plikt, askes och narcissism.

På ett samhälleligt plan inbillar sig det moderna samhället, genom matematiken, att det kan vara något mycket mer och mycket finare än det är, och underkastar sig - i ett pliktskyldigt försök att leva upp till detta ideal - all den plåga som skolmatematiken innebär. Med sammanbitna tänder gör vi ytterligare att försök att reformera.

På ett individuellt plan är vi, trots att vi tyckte matematiken var en plåga i skolan, trots att vi vet ett dyft om vetenskap, stolta över att "inse" att kunskaper i matematik är något mycket viktigt.

Denna imaginära identifikation kontrasterar Pfaller (med Zizek och Lacan) med symbolisk identifikation. Zizek beskriver hur denna identifikation handlar om den position varifrån den imaginära identifikationen får sin mening. Den symboliska identifikationen besvarar frågan: För vem vill vi vara detta, som vi identifierar oss med imaginärt? Vem är det som vi (omedvetet) tror oss vara betraktade av, när vi njuter av att stå för det vi bekänner oss till?

En banal användning av denna tankefigur vore att säga att kvinnor på ett imaginärt plan kanske vill vara vackra, och att de på ett symboliskt plan därmed identifierar sig med mannens blick. Man vill vara en vacker kvinna, för att det är sådana kvinnor som män tycker om - i synnerhet kanske just en viss typ av män, de män som är föremål för den symboliska identifikationen.

I Pfallers resonemang är det de genomskådande fantasierna som står på det symboliskas sida. Dessa fantasier "är" i någon mening det symboliska, och de är detta i kraft av att den naive betraktarens tro.

Vår imaginära identifikation med matematiken hänger med andra ord samman med en symbolisk identifikation med den naive betraktare som tror på skolmatematikens (för alla andra) genomskådade fantasi.

Poängen med min hänvisning till Roy Rappaport och hans definition av en ritual, är att skolmatematiken därigenom kan förstås som den instans som skapar och "undervisar" den naive betraktaren.

10. Kanoniskt och självrefererande budskap
===========================================
Låt mig för att förklara denna aspekt av skolmatematiken återknyta till Roy Rappaports ritualteori.

Rappaport menar att ritualer, definierade enligt ovan (fem kriterier), innehåller två komplementära sorters "budskap". Han kallar dem det kanoniska, respektive det självrefererande budskapet.

Det självrefererande budskapet handlar om de som utför ritualen. Ritualer är sällan, skriver Rappaport, helt invarianta. Tvärtom innefattar de (den typ av ritualer som Rappaport diskuterar, bör man kanske precisera) som regel en viss typ av formaliserad variation, en uppdelning i roller inom ritualens ramar, som får konsekvenser även utanför ritualens ordning, för de som utför ritualen. Dessa konsekvenser är det självrefererande budskapet.

Det kanoniska budskapet bärs å andra sidan upp av de som är invariant i ritualens utförande. Pfaller skriver:

Whereas the referents of self-referential messages, i.e., the current physical, psychic or social states of individual participants, or of the body of participants as a whole, are confined to the here and now, the significata of the canonical are never so confined. They always include […] orders, processes or entities, material, social, abstract, ideal or spiritual, the existence or putative existence of which transcends the present. (p 53)

[t]he canonical stream is carried by the invariant aspects or components of these orders, [whereas] self-referential information is conveyed by whatever variation the liturgical order allows or demands. (p 54)

Angående ritualens kanoniska budskap talar Rappaport om "Ultimate Sacred Postulates", vilka i skolmatematikens fall tycks motsvaras av mycket allmänna påståenden rörande det goda som skolmatematiken, genom matematiken, borde kunna led till. Rappaport skriver att

[...] they are generally devoid, or close to devoid, of material significata. They are, therefore, invulnerable to falsification by reference to evidence naturally available in this world. (p 280) […] material evidence can never falsify Ultimate Sacred Postulates if all, or even some, of their key terms are non-material, as they seem always to be. (p 280).

Rappaport menar att vi, genom att utföra ritualen, gör dessa postulat "verkliga" så till vida att vi accepterar dem som en del av den verkligheten. Nyckeltermen här är "acceptans", som Rappaport är noga med att skilja från "tro". Rappaport menar att utförarna (the performers) smälter samman med ritualens budskap när de utför det, och eftersom detta är fallet:

for performers to reject liturgical orders being realized by their own participation in them as they are participating in them is self-contradictory, and thus impossible. Therefore, by performing a liturgical order the participants accept, and indicate to themselves and to others that they accept whatever is encoded in the canon of that order. (p 119)

The self-referential and the canonical are united in the acceptance of the canon. Acceptance is the self-referencial message intrinsic to all liturgical performances […] (p 119)

Angående det självrefererande budskapet påpekar Rappaport att

[…] information concerning the current state of transmtters, being confined to the here and now, may transcend mere symbolic signification and be represented indexically. (p 54)

Intessant nog är detta exakt vad som sker då en elev genomför ett matteprov. Resultatet indikerar, indexerar, elevens status inom ritualens ramar. Den pekar på en egenskap hos eleven, visar upp den, synliggör den. Resultatet framträder som en ”översättning” av ett inre tillstånd (inte som ett skapande av detta tillstånd, eller som något som eleven ”betyder”).

Det abstrakta, icke-materiella, får genom ritualen kan ges en materiell representation som gör det mer påtagligt. Dvs människors subjektsposition, i den mån de tilldelas med hänvisning till en abstrakt matematik, behöver göras materiell, vilket sker genom matteprovens indexikalitet, deras praktiska materialitet. Mer Rappaports ord:

[In rituals] incorporeal qualities, in their nature only vageuly metrical and certainly not numerable, are given a form that is not only mateiral but clearly metrical, like number of pigs, coppers, and copper plaques [and can add, points in test of mathematical knowledge]. (p 86).

Rappaport och Pfaller hör till två helt skiljda forskningstraditioner. Likväl tycks deras respektive observationer och slutsatser stämma överens på ett nästan förbluffande sätt.

Omtolkad i Pfallers terminologi kan man säga att vi, genom att acceptera en ritual, oavsett om vi "tror" på den eller inte utan genom vår blotta handling, lär eller informerar den naive andre om hur världen är uppbyggd, hur vårt samhälle är strukturerat och vilken position vi själva intar i detta kosmos. Ritualen fyller därmed en dubbel funktion, något Rappaport också påpekar:

Liturgical performance not only recognizes the authority of the conventions it represents, it gives them their very existence. (p 125)

Participants enliven the order that they are performing with the enery of their own bodies, and their own voices make it articulate. They thereby establish the existence of that order in this world of matter and energy; they substantiate the order as it informs them. (p 125)

Ritualen skapar den ordning som den får sin mening från. Vad det handlar om är givetvis vad man brukar tala om som "naturalisering", "reifiering" eller "hypostatisering", och brukar avslöja genom konstaterandet att världen är "socialt konstruerad". Jag hoppas dock det framgår att både Pfaller och Rappaport säger betydligt mer än så.

11. Skolmatematikens etik och moral
====================================
Pfaller knyter i slutet av sin bok an till en distinktion som Gilles Deleuze gör i sin bok om Spinoza, mellan immanent etik och transcendent moral. Inte minst eftersom Spinozas immanensetik är så tätt sammanvävd med en matematiserad, mekanistisk världsbild, är det lockande att se även vad denna distinktion skulle innebära i fråga om skolmatematiken.

Karaktäristiskt för den immanenta etiken är att den inte handlar om gott och ont, utan om bra och dåligt, starkt och svagt. Om man inom ramarna för denna etik gör något som är dåligt, så följer automatiskt negativa konsekvenser. Naturen själv är modell för detta sätt att tänka: ett träd som lyckas slå rot och växa sig högt är inte "gott" - det är snarare "bra". På ett motsvarande sätt kan man tänka om en framgångsrik affärsman; givet marknadens immanenta etik är hon "bra". Om hon är god eller ond är en annan fråga.

Moral, däremot, är enligt detta tänkesätt en fråga om gott och ont, och den utgår från ideal och regler som handlingar jämförs med och värderas i förhållande till. Moralen är inte förknippad med automatiska mekanismer. Onda handlingar leder istället till skuld, skam och självförebråelser. Goda handlingar leder inte, som i den immanenta etiken, genast till goda effekter, till "ökad styrka", utan snarare till självaktning, självrespekt och kanske även respekt från andra - men möjligen i olyckligare fall istället avundsjuka och missunnsamhet.

Skolmatematiken utgör, konstituerar, reproducerar, en sorts immanensetik. Den är ett system som genererar effekter både i form av "inskriptioner" (Latour) och i form av betydelser och värden. Den som lyckas på att matteprov är inte god, hon är helt enkelt bra (på matematik), den som misslyckas är inte ond utan dålig (på matematik). Bra handlingar, bra resultat, får genast, ofelbart och automatiskt, goda konsekvenser. Inget av detta är beroende av vad någon tror, tänker och tycker. Skall denna mekanism hindras i sitt spel krävs betydligt mer drastiska åtgärder än gnäll och klagomål.

Den matematik skolmatematiken kretsar kring är tvärtom en fråga om moral. Att öppet förkasta matematiken är, i det moderna samhället dumt på ett helt annat sätt än det är dumt att misslyckas på ett matteprov. Den som misslyckas på ett prov förtjänar hjälp att lyckas bättre nästan gång. Den som påstår att provet saknar mening och vill friskriva sig själv från det dåliga resultatets konsekvenser - den kan inte vänta sig något samhälleligt stöd.

I det moderna samhället är det en moralisk plikt att erkänna matematikens värde. Detta är en plikt som hänger samman med plikten att erkänna vetenskapens värde. Matematiken är en av de många gudar man som modern samhällsmedborgare, i vetenskapens namn, har att bekänna sig till.

Med Zizek skulle man kunna säga att den moraliska plikten konstituerar det koordinatsystem inom vilket skolmatematikens immanenta etik kan verka. Denna moraliska plikt liknar i denna bemärkelse plikten att bekänna sig till den demokratiskt reglerade fria marknaden.

12. Skolmatematikens historia
==============================
Folkskolan var öppet ordnande och disciplinerande fram till omkring 1880. Då började det moderna utbildningssystemet ta form.

Inledningsvis spelade "gallring" en central roll i detta system. Matematiken utgjorde det förmodligen främsta "gallringsinstrumentet" och matematiken fick därmed den dubbla funktionen att samtidigt "hjälpa och stjälpa" som jag ovan har beskrivit som karaktäristisk för skolmatematiken.

Situationen idag är emellertid något annorlunda, och den tycks ha förändrats kring 1970. Idag är det nämligen tabu även att tala om skolans "gallrande" funktion.

Förändringen kan följas i sättet att tala om de "utgallrade". Inledningsvis betraktades utgallringen som naturnödvändig, rättvis och god. På 1950-talet började man emellertid att rikta blicken mot de "svagpresterande" eller "lågpresterande" och strax senare "basfärdigheter" och "baskunskaper". Från att syfta till att gallra bort, förändras skolans uppgift till att inte bara också hjälpa de svagaste, utan framför allt till att hjälpa just dessa.

Ett system som per definition utestänger just de som presterar sämst, får alltså till syfte att "hjälpa" just dessa. Man proklamerar att just det som de svaga inte har, är det allra viktigaste för delaktighet i det moderna samhällslivet, mäter och konstaterar att de svaga inte har detta - och menar sedan på att syftet med denna verksamhet är att hjälpa.

Den engelske sociologen Paul Dowling skriver om detta i sin bok The Sociology of Mathematics Education (1998). Han talar om "the myth of participation" som idén att matematik skulle vara en del av det vardagliga samhällslivet, som om matematiska kunskaper var något man behövde helt enkelt för att leva. Givetvis är det inte så, skriver Dowling, men detta är vad skolmatematiken vill göra gällande. Man kan tala om konsekvensen i termer av patologisering, eller med Pfallers terminologi, en systematiskt indoktrinerad imaginär identifikation med ett matematiskt ideal. Identifikationen genererar en viss typ av reflexivt värderande självförståelse, där det man lär sig är att man är i behov av hjälp, att man inte är den man borde vara.

Barn och Vuxna

2010-06-30T01:14:00.000-07:00

Samhället förändrades. En ny ordning, med nya institutioner, nya praktiker, nya möjligheter och hinder. Och samtidigt ett nyss system för rättfärdigande, en ny diskurs. Allt detta kring sekelskiftet 1900, med arbetarrörelse, demokratisering och framväxten av expertsamhället.

Detta moderna samhälle befolkas av människor med en ny essens. Det är människor födda - kanske inte lika, men dock på samma plats, en punkt varifrån alla måste röra sig mot sin vuxna position i samhället.

Detta är nytt.

Fördelningen av människor måste skapas, i sin helhet, människorna måste ledas ut, åt olika håll, förmås att förflytta sig tillräckligt långt. Och svårigheten ligger i att varje rörelse måste förklaras.

Det finns två typer av förklaringar: en inre, som hänför sig till individens essens, dess "begåvning". Detta är den viktiga. Den andra förklaringen ligger på ytan och handlar om vad man kan, ens färdighet. Begåvningen bestämmer hastighet och sträcka. Färdigheten är ett fritt val och bestämmer riktning; vad man väljer att bli. Essensen måste blottläggas. Den måste fås att visas sig i rörelse eller brist på rörelse.

Denna människa är en ny skapelse - detta att alla är sådana, alla bär på denna kvantifierbara essens.

Jag menar att Barnet är ett korrelat till denna människa, att det är en motsvarande samtidig skapelse. Barndomen är den tid då människan rör sig in i samhället. Rörelsen är Barnets Utveckling.

Detta Barn förklarar en helt ny typ av praktiker, inte gjorda för människor, utan för Barn.

Det är runt barnet den metafysik växer fram som jag vill undersöka. Det spännande händer i mötet mellan Matematiken och Barnet. Där formas riterna.

Ritualen skall samtidigt leda och förklara. Forma kroppar och forma det sociala imaginära (Castoriadis). Skolan reproducerar en myt, ett system för rättfärdigande (Boltanski och Thevenot).

Detta Barn tar form under den tid jag studerar, efter 1880 fram till 1960-talet då det mesta finns på plats.

Här finns historiska problem och frågor. För materialet, både praktiker och idéer, berättelser, är äldre. Man känner igen Pestalozzi och Fröbel i 1900-talet nyheter. Vilken roll spelar detta?

Skolan skapar Barnet. I skolan iscensätts ett blottläggande av en på förhand given begåvning. I skolan iscensätts kompetens, med rekvisita hämtad från alla samhällssfärer: från vetenskapen, vardagen och arbetet. Problem konstrueras och löses. Den ena lämpar sig för det mekaniska repetitiva, den andra är inspirerad och kreativ. Vägarna klassificeras och värderas. Det mekaniska och repetitiva förkastas, den kreativa inspirationen hyllas. Riktningar stakas ut.

Vad man kan se i berättelsen är en fantasi som direkt kontakt med det verkliga. Samtidigt är det verkliga det rent abstrakta. Det rena tänkandet är tänkande utan tecken, utan förmedling av språket, det konventionella, sociala. Matematiken tyngs av representationer. Det uttalade "två" representerar talet två. Ordet "två" representerar talet (eller blott det uttalade?). Siffran "2" representerar ordet "två". Men talet existerar oftast inte ensamt, i sig självt, abstrakt, utan knutet till ting. De två strecken | | representerar också talet, fast bortom språket. Vägen mot det abstrakta går därför via tingen, som skall ses, höras genom en rytm, kännas med huden. Så skall talet byggas upp. Det skall växa fram genom denna icke-språkliga representation. Därefter måste det varsamt frigöras, friläggas, fås att sväva fritt i ett inre rum, möjligt att skåda för den helt inre blicken. Som gjutet i järn skall det stå där inne, och i jämförelse är tecknet, siffran, orden, lätta som luft, fästa vid det orubbligt stabila talet, som ständigt står Bakom tecknen, som är deras innehåll.

Så mycket kan gå fel. Tänk om talen aldrig frigör sig från tingen. Eller om det aldrig ens växer fram något tal bakom siffrorna. Det blir ett spel på ytan, ett flyttande hit och dit av meningslösa tecken som saknar djup, saknar förankring. Så är det för en ytmänniska, kanske hårt arbetande, kanske tomt pladdrande, utan Substans. Detta är vad skolan måste upptäcka.

Försvaga matematikens ställning!

2010-01-02T09:16:00.000-08:00

Ett problem som sällan diskuteras i samband med matematikutbildning är att de kunskaper som utbildningssystemet skall bibringa eleverna mäts under samma förutsättningar som de producerats, trots att de skall användas under helt andra omständigheter.

Skolan är som en egen värld. I denna värld är tiden indelad i lektioner, ämnen och raster; rummet i klassrum och lärarrum, korridorer och skolmatsal; de unga kallas elever, de vuxna lärare; böckerna man läser är läroböcker, och så vidare. Denna värld möter man på en särskild plats och under en avgränsad tid i sitt liv. Det är där och då man skall lära sig - bland mycket annat, matematik. Det är i denna värld som det avgörs vad man lär sig och vad man har lärt sig när tiden är ute, vad man kan, vilka kunskaper man har.

Syftet är dock att man skall ha nytta av sina kunskaper utanför skolans väggar, utanför den del av samhället som utbildningssystemet täcker in, i livet efter skolans slut.

Här följer fyra argument för den till synes vågade hypotesen att de flesta faktiskt inte har så stor nytta, utanför skolan, av de ”kunskaper i matematik” man skall tillgodogöra sig i skolan och att det som avgör om man har nytta av sin skoltid eller inte snarare avgörs av vilka betyg man får. Jag menar att tal om ”kunskaper i matematik” är mystifierande, eftersom de utger sig för att handla om något allmängiltigt, medan det som åsyftas i praktiken är högst specifika prestationer inom skolans ramar. Att betygens inflytande - både på individens liv och samhällets sätt att fungera - är både stort och allmänt, det är en helt annan sak.

För det första har det visat sig svårt, för att inte säga omöjligt, att detektera den typ av kunskaper i matematik som skolan vill bibringa eleverna, under andra omständigheter än skolans egna. Vad det är fråga om är alltså att, utöver det uppenbara sambandet mellan betyg och livsomständigheter efter skolans slut, upptäcka effekter av själva kunskaperna, vad man vet om matematiken och vad man kan göra med den.

Det har mig veterligen inte varit möjligt att etablera något statistiskt samband mellan matematiska kunskaper och kompetens i det vardagsliv som det talas om i kurs- och läroplaner. Tvärtom har det gjorts forskning som pekar mot att något sådant samband inte existerar, eller åtminstone är mycket svagt. En rimlig slutsats är att idén att man lär sig saker i skolan som man sedan använder utanför skolan bör betraktas som en hypotes - ännu så länge utan empiriskt stöd.

För det andra kan man utifrån ett historiskt perspektiv se hur skolan i allmänhet och skolans matematikundervisning i synnerhet tagit form utan att ens göra anspråk på att bibringa eleverna användbara kunskaper. Det var inte länge sedan matematikundervisningens främsta syfte var vad man kallade formalbildning, det vill säga att forma de unga människornas sätt att tänka och uppfatta världen. Man må tro vad man vill om detta idag. Helt klart är åtminstone att idén om formalbildning sedan dess förpassats från sanning till hypotes och i egenskap av sådan under en period (första halvan av 1900-talet) även förkastats.

Matematikundervisning har under långa perioder syftat till att leda eleverna till den rätta tron; I England en uttalat kristen tro, i Frankrike en tro på staten och dess strikt hierarkiska ordning. I den svenska folkskolan skulle räkneundervisningen både bidra till dess högre religiösa syften och med sin strikta disciplin lära eleverna att lyda och att veta sin plats. På 1900-talet knöts matematiken till det vuxna rationella tänkandet överhuvudtaget, vilket gjorde matematikundervisningen till ett medel att både forma normala människor och att mäta i vilken mån normalitet hade åstadkommits.

Slutsatsen här är att användbara kunskaper när det gäller matematik ständigt har fått konkurrera med helt andra målsättningar och nästan alltid kommit i andra hand.

För det tredje står det sedan länge klart att undervisningen i matematik som en del av ett utbildningssystem fyller en rad funktioner i samhället som kan förklara dess existens och utformning, utan hänvisning till bibringandet av användbara kunskaper. Detta vetande forskades på ett övertygande sätt fram under 1970-talet och har sedan dess snarare fallit i glömska än vederlagts.

Till dessa funktioner hör att skolan är en förvaringsplats för samhällets unga. Var skulle de annars hålla till? Skolan behövs således av denna anledning ensam! Och är det något matematikundervisningen gör så är det att ta tid i anspråk. För att tillfälligt återgå till det historiska argumentet kan man faktiskt se att läroböckerna i matematik när de tog form mot slutet av 1800-talet uttryckligen syftade till att hålla eleverna tysta och sysselsatta.

Vidare är skolan en plats där elever formas, eller med ett hårdare ord: disciplineras. Man lär sig sitta still, hålla tyst, lyssna och göra som man blir tillsagd på den tid och den plats man blir anvisad. Matematiken med sitt tveklösa rätt och fel är i detta avseende en idealisk lärare: opersonlig och obönhörlig. Läraren behöver inte döma - med allt vad det skulle innebära av personliga variationer med avseende på kunskaper, intresse, tycke och smak - och åtföljande diskussioner om rättvisa och personligt ansvar. Matematiken gör det så mycket bättre helt objektivt i lärarens ställe.

Slutligen är skolan en plats där eleverna sorteras. Sociologerna talar i detta sammanhang om samhällets reproduktion, det vill säga att skolan bidrar till att både återskapa samhällets hierarkiska struktur och till att få denna struktur att framstå som naturlig och rättvis. Kunskaperna i matematik fyller här den viktiga funktionen att skilja mellan människor genom att helt enkelt göra dem olika mycket värda. Matematiken är värdefull, och ju mer matematik man kan - ju mer matematiska kunskaper man har är givetvis den formulering som i vår tid gör logiken enklast att förstå - desto värde-fullare är man.

Slutligen: För det fjärde är det möjligt att se hur skolans grundläggande matematikundervisning bidrar till att forma en tro - på matematikens värde och de matematiska kunskapernas användbarhet. Detta är i själva verket en del av skolans disciplinerande effekter, formandet av elevernas världsbild, deras fantasier och om man så vill deras drömmar. Tittar man på läroböckerna och matteproven ser man hur de representerar världen, men inte neutralt och objektivt (vilket vore omöjligt). Istället visar de upp en värld genomsyrad av matematik, där allt kan förstås matematiskt och varje problem kan lösas med hjälp av matematik. Orealistiska är uppgifterna givetvis, men enligt den skolmatematiska doktrinen inte på grund av essentiella skäl, utan på grund av mindre viktiga tillfälligheter enligt regeln (som skall läras in) att det som inte kan behandlas matematiskt per definition är mindre viktigt.

Eftersom vi i skolan ägnar oss åt matematik nästan varje dag lär vi oss att matematik är en del av vårt dagliga liv. Eftersom vi i skolan ser - tvingas se - att ”kunskaperna” vi försöker ta i besittning genom betygen får livsavgörande betydelse, lär vi oss erkänna matematikens värde och vidsträckta inflytande. Genom år av hårt arbete, återkommande nervositet och kanske till och med skräck inför stundande examinationer, genom ömsom nedslående och upplyftande erfarenheter, lär vi oss att vi här, i fråga om matematiken, är underställda en makt inför vilken vi inte kan annat än bäva. Och vad de flesta i praktiken gör efter skolans slut är att i möjligaste mån hålla matematiken på respektfullt avstånd.

* * *

Det är upp till var och en att dra sina slutsatser med utgångspunkt från dessa fyra argument. Min slutsats är att matematiken idag är mystifierad så till den grad att man kan se den som en del av vår tids religion. Den framstår som ett högre väsen om vilket de märkligaste påståenden får stå oemotsagda. Och den är ett väsen som först och främst håller människor i schack. Den är inte frigörande som det ofta påstås. Det är tron på matematiken som får oss att ha överseende med matematikundervisningens plågsamma och meningslösa övningar, liksom med betygens segregerande och reproducerande effekter. De framstår nämligen som ett nödvändigt ont i ljuset av de matematiska kunskapernas oundgänglighet.

Med detta som utgångspunkt är mitt råd till dem som vill förbättra skolans matematikundervisning att istället för att stärka matematikens ställning sträva efter att försvaga den. Tvivla på nyttan av matematiska kunskaper, tvivla på matematikens bländande skönhet och dess förmenta allestädesnärvaro. Försök att bryta förtrollningen. Tron på matematiken, den rationella argumentationens vetenskap som skulle stå i upplysningens och demokratins tjänst, har blivit en skadlig dogm. Det är dags att vi slutar gå i den skolmatematiska retorikens ledband och istället uppbådar det mod som krävs att bruka vårt eget förstånd.

Några utdrag ur diskussionen

2009-09-21T14:05:00.000-07:00

Följande textavsnitt är hämtade från: Hög tid för matematik (NCM, 2001), Att lyfta matematiken (Matematikdelegationen, 2004), Bilding och matematik (Lars Mouwitz och Högskoleverket, 2004) och gymnasieskolans kursplan i matematik (2007).

Kunskaper i matematik är oundgängliga för den som vill verka som en aktiv medborgare. Samhällsarkitekter formaterar idag i allt högre grad samhället med hjälp av matematiska modeller och datoriserade strukturer, så behovet av matematisk omdömesförmåga hos den vanlige medborgaren ökar ständigt.

Att tidigt upptäcka och aktivt förhålla sig till starka och svaga sidor i barns och ungdomars kunskapsutveckling i matematik är av mycket stort värde för såväl individen som samhället.

I vardags-, yrkes- och samhällsliv har matematikkunnande visat sig vara en oumbärlig tillgång.

Att lära sig matematik är ett livslångt projekt som börjar redan med spädbarnets lek och prövande.

Att satsa på matematik är också en investering i medborgarskap och demokrati. Matematik är ett av skolans kärnämnen och att ha tilltro till och förmåga att tolka och påverka sin sociala omvärld är oundgängligt för ett aktivt medborgarskap. Många viktiga samhällsfunktioner utformas med hjälp av matematiska modeller och allt fler ekonomiskt komplexa valsituationer hänskjuts till individen. Ett grundläggande matematikkunnande är därför en förutsättning för en reell, och inte bara formell, demokrati.

Matematiken är en förutsättning för stora delar av samhällets utveckling och den genomsyrar hela samhället, ofta på ett sätt som är osynligt för den ovane betraktaren.

Företrädare för utbildning, näringsliv och samhälle ger kraftfullt och enstämmigt uttryck för att matematikkunnande är viktigt och att goda, meningsfulla kunskaper är en förutsättning för självförtroende, demokrati, tillväxt och livslångt lärande. Samlade insatser för en långsiktig, hållbar utveckling av matematikundervisningen i skolan både krävs och välkomnas i alla samhällsgrupper och på alla utbildningsnivåer.

Matematik är intimt förbunden med vår förståelse av världen och med samhällets utveckling och framtidsinriktning.

Att kunna matematik är både tillfredsställande och personligen berikande. Vardagslivet genomsyras allt mer av matematik och teknologi. De som har kunskaper i ämnet får på ett markant sätt ökade möjligheter att aktivt delta som medborgare i det demokratiska samhället. Matematiken har blivit allt mer oundgänglig i yrkesliv och för vidare studier. Att stärka medborgarnas matematiska kompetens har det dubbla syftet att stärka demokrati och bidra till att trygga ekonomiskt välstånd.

Forskningen

2009-09-07T14:45:00.000-07:00

Min forskning handlar om samspelet mellan det sociala och det objektiva.
Vid en given tidpunkt kan man se hur omständigheter - samhället - erbjuder identifikationspunkter, undervisningsmål, samtidigt som den sätter ramar, ideologiska, sociala, materiella. Exempel: (1) Urbanisering skapar en koncentration av barn och ungdomar - som kan göras till föremål för skolmatematisk undervisning. (2) Strukturomvandlingar skapar möjligheter för socialt uppåtstigande som etablerade klasser vill begränsa - så det uppstår ett ”behov” av gallring. (3) Sekularisering skapar plats i folkskolan för ett alternativ till katekesen - så skolmatematiken kan breda ut sig. (4) Den matematiska vetenskapen lämpar Euklides bakom sig och ogiltigförklarar skolmatematikens anspråk på att, genom Euklides, förmedla vetenskap, rationalitet och sanning - det uppstår ett sökande efter ett ny grund, en ny utgångspunkt.

Skolmatematiken tenderar att ”översätta” det sociala, tolka det, och baka in det i å ena sidan matematiken och å den andra det förflutna (idag ofta benämnd: traditionen). Med Cornelius Castoriadis kan man tala om skapandet av ett skolmatematiskt socialt imaginärt, skapandet av en ”verklighet”, den verklighet som man har att förhålla sig till. Det är en process av glömska, där man tenderar att uppfatta det skapade som på förhand givet, en process av hetereonomisering.
”Utifrån” kommer mål, som förändras över tid: religiositet, disciplin - manlighet - karaktärsdaning, rationalitet - logiskt tänkande, fantasi - kreativitet - lycka - självförtroende, produktivitet - effektivitet, demokrati - dialogiskt förnuft - empati. Skolmatematiken förklarar då genast att detta, just detta, är matematikens själva kärna - just det som den skolmatematiska undervisningen strax skall leda till. Lika viktigt är emellertid att det utifrån även kommer begränsningar och krav, varav de för dagens skolmatematik allra mest grundläggande är: eleverna måste hållas sysselsatta, eleverna måste sorteras, eleverna måste lära sig respektera matematiken som en Gud. På ett motsvarande sätt som målen förs in i matematiken, framträder dessa begränsningar som sprungna ur matematikens egenskaper: sysselsättningskravet översätts till en teori om lärande, en teori om formande av matematiska begrepp där det är absolut omöjligt, för att inte säga farligt, att tala om för eleverna vad de skall göra, en teori som säger att hemligheterna bakom siffrornas användning i det längsta måste undanhållas eleverna, som säger att man inte kan börja nog tidigt med matematiken - självklart redan i förskolan - som säger att timmarna av övningar är nödvändiga på grund av matematikens natur. Sorteringen får sin grund i en teori om korrespondens mellan tänkandets själva struktur - att vara vuxen och normal - och matematikens väsen, vilket gör det möjligt att upprätta två parallella hierarkier, enligt nedanstående figur:

Hierarki 1: Objektiv Matematik i *verkligheten*. Matematiken är i sig själv hierarkiskt uppbyggd.

Osynligt mellanskikt: - Skolmatematiken. En följd av nivåer, med allt svårare uppgifter, som ställer människans matematiska tänkande inför en matematisk verklighet - i sin skolmatematiska tappning.

Hierarki 2: Matematiken i *människan* (Intelligens). Matematiska begrepp som skänker kapacitet att bemästra världen.

Skolmatematiken upprättar en direkt korrespondens mellan å ena sidan Matematiken och å den andra Människan - och med Latour kan man tala om ett bortseende från mellanrummet, med alltid inadekvata uppgifter som resulterar i prestationer som aldrig motsvarar det man vill mäta. Till det mest fascinerande med skolmatematiken hör hur den skapat en teori om lärande som leder till tro på allt det som skolans matematik sägs vara, framför allt, för att tala med den engelske sociologen och matematikers Paul Dowling: (1) verkligare en verkligheten själv, och (2) alltid användbar. Dowling talar om detta som ”the myth of representation” och ”the myth of participation”, det vill säga: myten som säger att kunskap om matematik är kunskap om verkligheten, och myten som säger att matematiken är en del av nästan all mänsklig social praktik och att matematisk kompetens därför är en förutsättning för att bemästra denna praktik. Skolmatematiken producerar dessa myter genom metodologiska, didaktiska, krav på ”realism” och ”anknytning” till de sammanhang inom vilka matematiken antas (1) finnas och (2) användas. Den skolmatematiska undervisningen blir därigenom lektioner i hur verkligheten är beskaffad, träning i att se verkligheten genom matematiken.

Mer (av samma) om skolans matematik

2009-09-07T14:31:00.001-07:00

Skolans matematik är en nodpunkt (i Ernesto Laclaus bemärkelse). Den är ett ord utan egen betydelse, en diamant som kan reflektera allt det som antas vara gott i samhället. Matematiken framstår som ett outgrundligt koncentrat av mening, omöjligt att precisera närmare än att det är just matematik. Det fungerar som ett sammanbindande kitt mellan samhällets olika sfärer: utbildning givetvis, politik och demokrati, teknik och vetenskap, ekonomi och industri. Matematiken är i denna bemärkelse en ”tankestoppare”, en punkt där frågorna upphör bortom vilken det inte finns något meningsfullt att diskutera. Bakom detta hårda blanka skal döljer sig skolmatematiken, och man kan därför tala om denna aspekt av skolans matematik som dess utsida, den sida som vetter från skolmatematiken mot det omgivande samhället. Med matematikens hjälp framställer skolmatematiken sig själv som en spegel i vilken samhället kan se allt det det vill uppnå, det mål dit det vill komma.

Skolans matematik är ett sublimt objekt (i Slavoj Zizeks bemärkelse). Den får en frånvaro att framstå som något dolt. Den pockar på utforskande, med sammansättningar som matematiskt tänkande, matematisk problemlösning, matematisk begreppsbildning och matematisk kreativitet. Vart och ett tycks de förtjäna ett eller flera forskningsprojekt. De framstår som outgrundliga och samtidigt eftersträvandevärda. De hör, kan man säga, till insidan av skolans matematik. I detta inre kryllar det av blänkande diamantskärvor som lärare och didaktiker försöker fånga in och sedan bibringa sina elever. Matematikens insida är vad man ser då man från skolans håll blickar utåt, mot verkligheten utanför skolan. Man ser den filtrerad genom matematiken, man ser en matematisk ton som går igen överallt, matematiken tycks överallt närvarande. Matematikens insida är även vad som fäster den vi de enskilda eleverna. Genom idén om begreppsbildning kan matematiken anta materiell form inuti själva eleverna, som därmed kan bli - mer eller mindre - matematiska. Skolmatematiken ser som sin uppgift att låta matematiken växa i eleverna för att de när de kommer ut skall stå i samklang med en i sig själv matematisk verklighet.

Skolans matematik är till sitt väsen obegriplig. I för hållande till det outgrundliga djup och den enorma mångfald av aspekter man tycker sig skönja i dess inre känner sig de allra flesta - alla troende - otillräckliga. Men denna litenhet är också en källa till trygghet. Man är förvissad om att det här finns något som man inte känner till. Man vet att - men inte hur och inte varför - matematiken är viktig, närvarande, användbar. Matematiken tycks ligga bortom vår horisont, och därför vara mer objektiv, mer naturlig, mer verklig, mer vetenskaplig, än det vardagligt närvarande som vi förstår. Med Zizek kan man tvärtom säga att matematiken - den sanning och kraft vi tillmäter den - befinner sig allt för nära för att vi skall kunna se och förstå den.

Skolans matematik är ett referensobjekt. Det är den fasta punkt runt vilken skolan fördelar det uppväxande släktet. Skolans matematik ger skolans prestationsmätningar mening. Även om det är uppenbart att värdet av en given prestation är helt och hållet socialt bestämt, det vill säga att mätningen uteslutande tjänar till ett upprätta en hierarkisk ordning, lyckas matematiken få oss att betrakta mätningen som en mätning av något som varje uppmät individ har mer eller mindre av. Framför allt framträder därför skolans matematik som en frånvaro, en individuell brist, ett gapande hål - orsaken till segregation och kriminalitet, otillräcklig ekonomisk tillväxt, ångest och dåligt självförtroende, en oförmåga att förstå samhälle, teknik och vetenskap, en oförmåga att hantera det allra mest elementära. Genom skolans matematik skapar skolmatematiken detta i allra högsta grad meningsfyllda tomrum, som endast den själv kan misslyckas med att täppa till. Skolans matematik öppnar en väg för politisk handling som tycks oundviklig: ”satsnigar” på matematik.

Skolans matematik är ett löfte som aldrig infrias. Den tycks ha en inneboende potential att förändra, det fysiska (teknik, vetenskap), sociala (demokrati, ekonomisk tillväxt) och individuella (rationalitet, självförtroende). Potentialen hindras emellertid från att aktualiseras. I samma andetag som skolmatematiken berättar om matematikens bländande glans, förklarar den att skolan - den skola som varit och är - är resultatet av onda krafter, lagbundna sociala processer, missförstånd, ovetenskap och framför allt: tradition - ett förflutet lika väsensskilt från det närvarande nuet som matematikens framtid. I den mån en människa möter matematiken blir utfallet oundvikligen lyckligt. Det eleverna möter i skolan är emellertid inte matematik, utan skolmatematik, får vi reda på - traditionella undervisningsmetoder, förmedlingspedagogik, regler och meningslösa formler - och resultatet blir därefter. Skolmatematiken fixerar på så sätt sin uppgift: att frigöra matematiken. Från vad? Från skolmatematiken. Skolmatematiken är därmed till sitt väsen, som en spegel av matematiken, kluven. Den har en kropp - som den känner men inte vill kännas vid; läromedel, nationella prov, en gallrande funktion, ångest, tristess, cynism. Det är en gammal kropp (hur gammal?), traditionell, vanestyrd, beklaglig. Men så har den också ett förnuft - ett reflekterande medvetande, riktat mot framtiden, driftigt, fyllt av idéer - som tycker sig vara matematik snarare än skola, som visar vägen för alla dem som vill förändra.

Skolmatematiken är organiserad som en kunskapens planekonomi. Det görs planer, som staten försöker verkställa genom standardiserad lärarutbildning, läroplaner, läromedel, nationella prov, inspektioner och utvärdering. Det är allmänt vedertaget att det finns något sådant som kunskaper som endast kan förmedlas av lärare med hjälp av planerad undervisning mot i förväg uppställda för alla individer liknande mål. I motsats till inom det bildningstänkande som fasades ut ur den svenska skolan kring sekelskiftet 1900 är kunskaper alltid kunskaper om något. Medan det går att tala om bildning i allmänhet, och eftersträva detta mål genom så kallad formalbildande undervisning i latin, grekiska eller geometri, strävar man i dagens skola efter tillväxt inom eleverna av olika kunskaper, till exempel i matematik. Det är ämnena som får den planekonomiska organisationen att framstå som oundviklig. Skolans matematik är reifierad, objektifierad, naturaliserad, samhällsstruktur, ett särskilt sätt att organisera social reproduktion. Den har tagit form över tid, genom en process där man kan följa hur sådant som vid en given tidpunkt är något socialt - en till synes god eller nödvändig idé - efter ett par generationer framstår som en nödvändig följd av matematiken själv. Skolans matematik är skolmatematikens minne.

Gapet mellan skolan och matematiken

2009-09-05T00:50:00.000-07:00

Som jag ser det finns det inte en universitetsmatematik och en skolmatematik, med ett gap emellan. Istället är det skolan som (tillsammans med andra institutioner) upprätthåller bilden av att det bara finns *en* matematik, att matematiken är *en*, att det finns *något* som är universellt, överallt tillämpbart, osv. Mot bakgrund av denna bild säger skolmatematiken själv, om sig själv, att skolan är något annat än matematiken, att den är tradition, osv.

Poängen är här att gapet kommer före det som "finns" på gapets båda sidor. Gapet gör matematiken till det den är. Gapet är ett gap som skiljer det man föreställer sig att matematiken är *egentligen* från det som *faktiskt* är, den skiljer något som finns blott potentiellt från det som är aktuellt. Matematiken är hel men overklig, skolan är verklig men trasig. Matematiken kan bara vara hel i egenskap av overklig, och det är bara i förhållande till den hela matematiken som skolan framstår som trasig. De två bestämmer varandra ömsesidigt.

Det finns med andra ord ingen potential i matematiken som är möjlig att realisera. Det finns inget där att kunna, inget att veta.

Vad man däremot kan lära sig, är att räkna, lösa andragradsekvationer, bevisa satser, och - inte minst - att använda datorer för att beskriva, förstå, bygga teknik, osv. Detta har dock inget att göra med det jag talar om i min avhandling. Vad jag säger i avhandlingen är på sätt och vis att matematiken - som är skolans matematik - gör oss blinda för världen utanför skolan, den vanställer denna verklighet, den gör den till en avbild av sitt eget skolmässiga sätt att fungera - ett disciplinerande, instängande, förenklat, monotont, rent ut sagt fördummande sätt att fungera, och den gör detta i matematikens namn. Skolmatematiken vet ingenting om världen, den känner bara sig själv. Den påstår sig veta vad verkligheten är, hur samhället fungerar, vad vetenskap är, hur teknik kommer till, vad det innebär att vara kreativ, hur det går till när man löser problem, vad unga människor behöver, hur man deltar i ett demokratiskt samhälle. Den vet ingenting om detta. Skolan är sin egen verklighet, som får oss att tro att detta är den enda verkligheten.

Potentialen, om den finns någonstans, finns i ett spränga sönder matematiken, eller mindre våldsamt - lösa upp den. Och det som måste lösas upp är bara en bild, något imaginärt, en tro. Bara... Om det inte hade varit för det stöd denna tro har i hur samhället fungerar.. Som sagt ser vi varje dag skillnaden mellan matematik och skola förverkligad, materialiserad, i skillnaden mellan det höga och låga *i* samhället, mellan lyckade och misslyckade; matematiken är en av de bilder vi har av skillnadens essens och orsak. Matematiken (bilden) kan inte lösas upp med mindre än att - vi möter denna skillnad på ett annat sätt, utan bilder går kanske inte, men man kan tveklöst tänka sig andra bilder.

Användbarhet och vetenskap

2009-09-02T13:47:00.001-07:00

Om nu de anspråk som reses på matematiken är falska, något imaginärt, reifierad socialhistoria - vad är så sanningen om matematiken? Är den inte användbar? Är den inte naturvetenskapens och teknikens sine qua non?

Frågan måste besvaras på två nivåer, en teoretisk och en empirisk.

På en teoretisk nivå måste man notera att matematik, matematiken, är ett sätt att tala, ett sätt att göra ett utsnitt av verkligheten och betrakta en mängd olika fenomen som aspekter av "samma sak". Så är det med alla ord, även de vi upplever som konkreta, tex. ordet "stol". En mängd filosofiska, lingvistiska, pedagogiska, psykologiska resonemang kan föras kring hur orden sammanfattar delar av verkligheten, integrerar den i språket, fyller den med mening, och så vidare.

Vad jag påstår - på denna nivå - är att matematiken, vårt sätt att tala om matematiken, vårt sätt att använda ordet, är speciellt. Det täcker in "för mycket" - för många olika fenomen, det bär på för mycket mening, för mycket värde, som vi - samhället - drar för stora växlar på, osv.

Inte desto mindre är det uppenbart att matematiken täcker in många intressanta och viktiga fenomen. Hit hör till exempel det forskare inom teoretisk fysik ägnar sig åt. Utan tvekan skulle detta kallas "att använda matematik", och matematiken kan därmed sägas vara "användbar" för dessa fysiker. Det samma gäller en ingenjör som, säg, använder att datorprogram för att göra en simulering inför ett brobygge - det klassiska exemplet på vad ingenjörer ägnar sig åt.

För att nu illustrera vad jag menar med att matematiken täcker in "för mycket" vill jag jämföra det dessa personer gör med händelsen att en sexåring räknar, 1, 2, 3, osv. Eller en kassörska som tar emot 100 kronor och, efter att ha slått in beloppet i kassaapparaten läser av att hon skall lämna 32 kronor tillbaka. Eller en lärare som förklarar derivata för sin gymnasieklass. Eller en mellanstadieelev som adderar två tresiffriga tal med papper och penna.

Listan kan, som synes, göras mycket lång - och allt "är", enligt gängse språkbruk, matematik. Man kan fråga sig vad som förenar fallen - och det är många som ställt sig denna fråga! Och vi har fått en mängd svar, som skiftat över tid och rum, som försökt fånga matematikens essens. Många försök har gjorts att förklara varför, hur det kan komma sig, att matematiken kan vara allt detta, kan vara så många olika saker, kan vara användbar på så många olika sätt, och så vidare.

Jag vill sätta fokus på allt det som uppenbarligen inte är gemensamt för dem. För det första är skillnaden stor i vad man måste "kunna" (ett annat problematiskt ord) för att kunna göra det som de olika personerna i exemplen ovan gör. Att säga att man måste "kunna matematik" duger inte - bara ett fåtal matematiker är även duktiga fysiker, och det samma gäller relationen mellan matematiker och ingenjörer - och - såklart - relationen mellan matematiker och kassapersonal. Att kunna matematik är inte nödvändigtvis att kunna räkna, inte att vara skicklig på att använda matematisk programvara, inte att skapa och förstå fysikaliska modeller. Även den matematiska vetenskapen själv, eller de matematiska vetenskaperna, innehåller en så stor mångfald att en enskild person knappast kan ha mer än (utifrån forskarnas eget perspektiv) relativt elementär allmänbildning inom de av matematikens grenar som ligger utanför det egna intresseområdet.

Wittgenstein sa att språket är i ordning, och inte heller jag vill döma språkbruket. Jag kan också se att det finns något som förenar allt det man kallar matematik, och liksom alla andra har jag svårt att precisera vari det består. Vad jag vill peka på är effekterna av själva grupperingen. Detta innebär inte - på den här förklaringsnivån - ett ifrågasättande av "aspekterna" av matematiken tagna var för sig. Det är inte - på den här förklaringsnivån - ett ifrågasättande av att matematiken "fungerar". Min fråga är vad det är som fungerar, och vad det innebär att vi, med ordet matematik, oundvikligen säger att det bara är en sak som fungerar, en sak som är den gemensamma orsaken till allt fungerande inom de områden som vi kallar "användning" och "tillämpning" av matematik.

Man kan här jämföra med andra "välfungerande" områden, som till exempel medicinen. Även där finns det mycket som fungerar, mycket som är nyttigt. Men detta betraktar vi på ett helt annat sätt. Här är det inte "en sak" som fungerar, som är medicinens gemensamma orsak.

Frågan om de matematiska praktikernas enhet (om man så säger) berör på ett direkt sätt frågan om skolmatematikens innehåll. För enheten utgör skolmatematikens förutsättning. Skolmatematiken siktar på matematiken, på dess kärna, det som man vid en given tidpunkt uppfattar som dess kärna, och den härleder sina metoder från denna kärna, och den försöker skala bort allt ovidkommande, det särskiljande för alla de specifika "aspekterna" av matematikens användning. Historiskt kan man följa en sorts skolmatematiken reningsprocess, där den blivit allt mer trogen det den själv uppfattar som matematik, och samtidigt glidit ifrån var och en av alla de sammanhang utanför skolan som kallas matematiska.

Skolmatemtiken byger med andra ord på att det finns något enhetligt som man måste "kunna" för att sedan "kunna" göra allt det som man kallar för användning och tillämpning av matematik. Detta ifrågasätter jag, och i detta ifrågasättande är jag i gott sällskap. "Forskning", och allt annat också, vad jag kan se, talar för att det inte finns något universalrecept för att lära människor allt det där som man vill att de skall kunna.

Den andra nivån är som sagt empirisk. Den handlar om matematikens roll inom vetenskap och teknik, och matematikens roll i vetenskapens och teknikens utveckling.

Det sunda förnuftets bild av vetenskapen, upplysningens bild och den bild som blev propaganda under första halvan av 1900-talet, sa att vetenskapen är en, att den består av teori - matematisk teori - och att den kan förstås som en orsak. Låt mig citera Ernst Nagel (1960):

Science as an institutionalized art of inquiry has yielded varied fruit. Its currently best-publicized products are undoubtedly the technological skills that have been transforming traditional forms of human economy at an accelerating rate. It is also responsible for many other things not at the focus of present public attention, though some of them have been, and continue to be, frequently prized as the most precious harvest of the scientific enterprise. Foremost among these are: the achievement of generalized theoretical knowledge concerning fundamental determining conditions for the occurence of various types of events and processes: the emancipation of men's minds from ancient superstitions in which barbarous practices and oppressive fears are often rooted; the undermining of the intellectual foundations for moral and religious dogmas, wich a resultant weakening in the protective cover that the hard crust of unreasoned custom provides for the continuation of social injustices; and, more generally, the gradual development among increasing numberts of a questioning intellectual temper towards traditional beliefs, a development frequenvly accompanied by the adoption in domains previously closed to systematic critical thought of logical methods for assessing, on the basis of reliable data of observation, the merits of alternative assumptions concerning matters of fact or of desirable policy. / Despite the brevity of this partial list, it suffices to make evident how much the scientific enterprise has contributed to the articulation as well as to the realization of aspirations generally associated with the idea of a liberal civilization.

Idag är det inte längre så många - som satt sig in i frågan - som betraktar vetenskapen och historien på detta sätt. Vetenskapen har, enkelt uttryckt, fallit i bitar. Historiska och sociologiska undersökningar har visat att detta att se den som en, snarar utgjorde ett hinder än en tillgång när det gällde att förstå vad "den" var - och de finns idag en uppenbar motsägelse i termerna vetenskapsteori, vetenskapssociologi och vetenskapshistoria.

När det gäller matematiken står det klart att den inte "tillämpats" och "använts" på det sätt som man tidigare trott. Det har aldrig funnits någon enkel väg från teori till teknik, från något som är ett till en mångfald tillämpningar.

Denna nyare syn på vetenskapen och relationen mellan teori och praktik utgör en viktig aspekt av min teori om matematiken. Den ger stöd åt min idé att matematiken utgör ett sorts våld på tingens mångfald i sitt försök att sätta så mycket under samma ord, och att förklara så mycket med hänvisning till "matematiken", som man måste lära sig, som "används" och som får broarna att hålla och fysiken att förklara.

Som sagt kan man mycket väl se en likhet, med Wittgenstein: en familjelikhet, mellan allt det som kallas matematik. Vad jag skjutit in mig på är skillnaden mellan denna familjelikhet och att se det hela som delar av samma - - - objekt, som jag gärna vill säga, aspekter av något som ter sig ogripbart, outgrundligt, meningsfullt, kraftfullt, evigt, sant. Och så fortsätter jag...

Skolan och verkligheten

2009-09-02T11:02:00.001-07:00

Jag tänker mig att vad vi uppfattar som i en oproblematisk mening verkligt, i synnerhet vad gäller vissa delar av denna verklighet, kan förstås som något "socialt instituerat imaginärt", för att tala med Castoriadis. Socialt, eftersom det är resultatet av sociala processer. Instituerat eftersom det är konstant över tid och rum, samma för olika människor, som en social institution. Imaginärt, eftersom dess substans, materia, inte har något annat ursprung än människans fantasi. Castoriadis tar Gud som exempel. Mitt exempel är matematiken. Man kan tänka på liknande sätt om fenomenet "marknaden".

Vad som förenar dem är att vårt förhållningssätt till dem tycks delsvis fixerat av dem själva. De tycks följa en sorts inre logik som ligger bortom vår kontroll. De utgör, igen med Castoriadis, exempel på heteronomi. Ett uttryck som implicit uttrycker att vi "egentligen" har kontroll över dessa fenomen, och mer specifikt kan förändra dem - demokratiskt.

Hur blir saker verkliga på detta sätt? Detta är, som jag ser det, en fråga om tro, blind tro, att komma till tro, att nå ett tillstånd av oreflekterad övertygelse om att något är på ett visst sätt som utesluter allt tvivel. Man kan se det som tro som uppfattas som vetande, men detta innebär i så fall inte att vi tror oss veta något som i själva verket är "fel". Få skulle påstå sig "veta" vad Gud, matematiken eller marknaden är. Vissheten visar sig i handling, den är "materialiserad" i sociala institutioner, den visar sig i hur vi talar; inte minst i vad vi inte talar om, hur vi inte talar, vad vi inte föreslår, hur vi inte förklarar historien osv.

Detta resonemang är egentligen inga konstigheter. Det är väl sociologi helt enkelt? Durkheim, fast lite generaliserad till att även omfatta naturvetenskapen. Hur som helst.

Vi lär oss vad verkligheten är när vi växer upp, när annars. Och - min poäng - vissa delar av verkligheten lär vi oss mest om i skolan. Jag menar att skolan "äger" - i den alldeles moderna innebörden av detta ord - vissa delar av verkligheten, både på det objektiva, ontologiska planet, dvs. vad vi uppfattar som verkligt - matematiken som egentligen är skolans matematik, men även på andra sätt, som jag inte vet så mycket om, skolans övriga ämnen - och på det institutionella, sociala planet, dvs: matematiken är på ett ontologiskt plan "viktig", denna viktighet är institutionaliserad i form av skolmatematik med prestationsmätningar och viktiga betyg, därför är det väldigt svårt att tvivla på att matematiken faktiskt *är* "viktig" - den är ju faktiskt viktig, på grund av att den *i skolan* behandlas som om den vore viktig.

Vad jag säger om detta, och som kanske är svårt att följa, är att skolan, genom att förklara sin sociala organisation med hänvisning till "existerande" objekt, gör det svårt att se, förstå, inse, vilken enorm formande kraft skolans institutioner har på oss. Objekten, ämnena, bestämmer hur vi ser skolan, nämligen som en "förmedlare av verklighet", en instans som för verkligheten till eleven, en instans som behövs för att den vuxne skall kunna orientera sig i verkligheten. Vi missar att denna verklighet i väldigt storutsträckning *är skola*. För att tala med Castoriadis: om vi helt enkelt tagit bort skolmatematikens institutioner, så skulle matematiken upphöra att vara det den är idag, inte minst skulle den upphöra att vara "viktig" så som den är idag. Denna viktighet har sin grund i skolans institutioner. Om vi insåg detta skulle vi vara autonoma. Dagens tillstånd, att vi är fångade i en tro på att matematiken är viktig oberoende av oss och att vi måste anpassa oss till den, är heteronomt. Att tala om matematik utan skolmatematiken vore kanske ungefär som det är idag att tala om klassiska språk, grammatik, logik eller för den delen medicin, juridik eller ekonomi - viktiga fenomen vet alla, men som saknar skolform (skolmedicin, skoljuridik, skolekonomi - vore inte det något för tankegymnastik, självförtroende, vetenskap, demokrati och ekonomisk tillväxt?)

Matematiken och politiken

2009-08-31T23:59:00.001-07:00

Mer viktigt än hur matematiken öppnar ett rum för politisk handling, genom "satsningar" på skolan, är såklart hur matematiken ger mening åt det som händer i skolan, dels det faktum att den kostar en massa pengar, dels att alla barn och unga måste vara där, dels att skolans prestationsmätningar skall få så stora konsekvenser. Matematikens existens, dess ontologi, och det sätt på vilket den existerar, gör det möjligt att se hela denna sociala apparat som knuten till, förbunden med, något objektivt, något naturligt - och även detta utgör en sorts ram för det politiska, något som måste accepteras för att den politiska diskussion vi har över huvud taget skall bli möjlig.

För mig gick det upp ett ljus då jag förstod Marx resonemang kring pengar, och hur de är fetisherade, dvs att man uppfattar pengar som om de hade ett eget, inneboende värde - trots att djupare reflektion gör det uppenbart att pengars värde är helt och hållet socialt bestämt, och att en "mängd pengar" motsvarar en viss relation till alla andra människor som också har (mer eller mindre) pengar. På precis samma sätt är det med de "kunskaper" som produceras i skolan. Kunskapsmåtten, dvs betygen, är helt uppenbart bara värda något i förhållande till andra betyg, de placerar in varje elev i en ordning. Men vi tänker inte om betyg på detta sätt, och vi uppmanas till och med explici (genom de "absoluta" betygen) att inte tänka så, utan i stället i termer av "kvantitet kunskap", vilket då det gäller matematiken inte är något annat än "kvantitet matematik", som om matematiken vore en substans som man i skolan approprierar, med större eller mindre framgång.

På samma sätt som pengarna ställer sig på detta sätt matematiken "i vägen" för det sociala, den gör det möjligt att "inte se" det. Konkret: då en elev misslyckas och blir bortsorterad kan vi tala om detta i termer av en individuell brist, en avsaknas av matematik - istället för att se det som en nödvändig konsekvens av reproduktionen av samhällets hierarkiska struktur. Detta sätt att tala hänger sedan givetvis samman med den typ av politisk handling som vi talade om: att satsa på matematiken - för att fylla i det gapande tomma hålet i individen, och mer generellt, att fylla igen det gapande hålet i samhället, den skriande bristen på (kunskaper i) matematik.

Skolans ämnen

2009-08-31T23:58:00.001-07:00

Matematiken är, idag, inte ett "naturligt" objekt i den bemärkelsen att den (bara) skulle vara en del av naturen, att den skulle vara "upptäckt" och så vidare. Det väsentliga för mitt resonemang är att den är "verklig", med vilket jag menar att den - för de allra flesta människor - hör till det som i en oproblematisk mening helt enkelt *finns*. Till detta hör att den finns *på ett visst sätt*, eller med andra ord har en viss uppsättning egenskaper.

Detta existerande har matematiken, enligt hur jag uppfattar det (öppning för invändning...), gemensamt med många andra skolämnen: språk, samhällskunskap, historia. Som jag förstår det är själv utgångspunkten för all ämnesdidaktisk forskning, att den har ett "ämne" till objekt vars egenskaper, vars relation till barnet, läraren, samhället, etc. man kan utforska. Undervisningen utgår från att det finns ett "ämne" att förmedla, eller på något sätt bibringa barnet.

Mitt argument i denna fråga har en idéhistorisk dimension som jag gärna vill ha hjälp att vidareutveckla. Skolan ämnen framträder nämligen i nytt ljus, med ny kraft, och på ett nytt sätt, kring 1920-talet i anslutning till frågan om *tid*. Folkskolan hade vid denna tid fått någorlunda fast ramar, och började bli möjlig att *styra*, med hjälp av kursplaner, inspektioner osv. Den nybildade realskolan bredde ut sig. Och precis samtidigt uppstår en vild - verkligen vild! - diskussion kring fördelning av elevernas tid. Konstrasten är slående i jämförelse med diskussionen på 1880-talet då frågan (inom folkskolan) tvärtom var hur en ensam lärare skulle kunna hålla eleverna sysselsatta, dvs kunna få tiden att gå, flyta fram utan att eleverna pockade på uppmärksamhet.

Mitt intryck är att denna diskussion kan förstås som en diskussion just om vad som är verklighet, vad verkligheten består av. Frågan var: vad måste eleverna lära sig något *om*, för att förberedas inför (1) fortsatta vetenskapliga studier och få (2) "medborgerlig bildning"? Ämnena fick vid denna tid särskilda representanter - och man kan inte skilja skolans förändring från en allmän professionaliseringstendens i samhället vid denna tid. Grupperna kämpade för plats åt sin egen *expertis* kan man säga, för dess sanningsanspråk.

Och kärnfrågan rörde: tid - på kursplanen och därmed i skolan.

Det är inte ett långt steg till analysen: Och så skulle eleverna formas att tro på, respektera, underställas, de respektive ämnesområderna, de respektive ämnena, de respektive experterna. Men så tänkte de förstås inte (eller?)!

Hur som helst. Denna ämnesdiskussion tar plats i ett rum som just blivit tomt, efter det att religionen och den nyhumanistiska förståelsen av vetenskap och bildning lämnat scenen. Man kan därför (är, som du förstår, min uppfattning - vilken är i stort behov av nyansering, precisering, konkretion, osv) se detta som en process av sekularisering, en tidpunkt då det sociala imaginära struktureras om på ett genomgripande sätt, för det stora folkflertalet.

Och - min poäng - detta sker genom skolan. Skolan *får* vid denna tid, sina ämnen, i den moderna bemärkelsen, dvs vetenskapligt förankrade, med anspråk på att vara kunskapsobjekt, ämnen som man med nödvändighet måste lära sig för att kunna något om, för att kunna bemästra, verkligheten utanför skolan.

Verkligheten blir, kan man säga, uppdelad i skikt, på en ontologisk nivå: verkligheten, ja det är: matematik, historia, samhälle, ekonomi, språk, osv. Vart och ett universellt på sitt speciella sätt.

Dessa ämnen kan, menar jag, förstås som en sorts ersättningsobjekt för den tidigare: vetenskapen och religionen, med en ny uppsättning präster: experterna.

Trauma

2009-08-29T12:27:00.000-07:00

Hur uppstår skolans matematik? Hur får den sina egenskaper? Hur får den sin sublimitet?

På ett ontologiskt och psykologiskt plan skapas skolans matematik först och främst i den skolmatematiska undervisningspraktiken. Med Bourdieu kan man tala om ett symboliskt våld genom vilket den unga människan tvingas till tro. Med Zizek kan man tala om skapandet av ett trauma som sedan följer med oss och strukturerar vår verklighet efter det att vi lämnat skolan. Skolmatematiken ger oss möjlighet att komplettera Zizeks beskrivning av traumats generella effekter med en exakt beskrivning av hur ett mycket specifikt sådant trauma kan skapas.

Ett trauma är en händelse som vi på ett explicit diskursivt plan inte minns. Vi kan inte integrera den i vår livsberättelse. Likväl påverkar den oss. Man kan förstå traumat som en okänd kropp, vars existens visar sig i sina effekter själva den verklighet som vi upplever oss vara en del av. Traumat kröker den symboliska ordningen. Det visar sig i det objektiva. Traumat är en del av vårt inre - något "psykiskt" - som vi inte kan påverka, som ligger bortom vår kontroll. Objektiveringen av framträdelsen kan förstås som ett sätt att "begripliggöra" bristen på kontroll, ett sätt att integrera själva omöjligheten i det symboliska. Det kan till exempel handla om en rädsla, eller ännu enklare: en vana - något vi som till vår natur är tvungna att göra av anledningar vi inte förstår, ett mönster som upprepar sig, en sätt att reagera. Om mönstret gör oss illa kan vi tycka oss vara placerade i en förbannad verklighet.

Ett trauma kan, i teorin och ibland i praktiken, lösas upp. Händelseförloppet kan nystas upp och bli till något som hände just mig, just då - och bli begripligt. Vad som då händer är att det rasslar till, och själva verkligheten lägger sig till rätta på ett nytt sätt. I praktiken händer alltid detta i en följd av mindre eller större jordskred, alltid med följd att man när man lyfter blicken tycks befinna sig på en annan plats än tidigare. Det är inte fel att jämföra med ett succesivt uppvaknande ur en dröm. Därmed inte sagt varken att det man vaknar upp till är särskilt lyckligt, eller ens att det inte är blott en annan dröm. Något annat är det inte desto mindre.

Skolans matematik vilar på ett socialt instituerat trauma. Att vi säger "matematik" och inte "skolans matematik" betyder att vi inte förstår varifrån matematiken kommer. Den är helt enkelt där. Vi förstår inte att den är vår matematik, det moderna samhällets - för några tiotal år sedan kunde man säga "det västerländska samhällenas" - matematik. Vi tror att samhället, det sociala, liksom vi som individer, vilar i matematikens famn. Den tycks omsluta oss. Den är med andra ord resultatet av ett i allra högsta grad gemensamt trauma. Den är resultatet av ett trauma som reproduceras med kraft och precision. Skolmatematiken kan i detta avseende ses som ett laboratorium som blivit industri.

Skolmatematiken påverkar, i form av matematikens objektiva existens, vårt sätt att uppfatta verkligheten och i detta kan man skilja mellan hur den bestämmer vårt sätt att uppfatta å ena sidan skolmatematiken själv och å den andra verkligheten utanför skolan.

En av skolmatematikens mest fantastiska prestationer är att den lyckas få sin inre verklighet att framstå som, om inte normal, så åtminstone acceptabel. Den gör detta genom att ställa sig bakom den matematik den själv gett upphov till. Det kan tyckas provocerande, men är likväl inte fel att här jämföra med den hårda men "rättvisa" fadern som alla slagna instinktivt tar i försvar. Alla vet hur viktig matematiken är - oavsett om de lyckats eller inte i skolan, oavsett om de haft "roligt" eller "hatat" matematiken. Och även om man lämnat den så långt bakom sig att man inte längre ens bryr sig, finns den - vad det verkar - fortfarande där, som en väl inslagen lins som plockas fram åtminstone då skolmatematiken skall betraktas och funderas.

Om denna institutionaliserade blick med vilken skolmatematiken impregnerats utgör ett problem, är en kraftigt underlättande omständighet då man vill ta sig an den skolmatematiska undervisningspraktiken att dess organisation sätter tydliga avtryck - i berättelser om "hur man bör göra", "hur man i praktiken gör men inte borde göra", och framför allt i de läroböcker, räkneböcker, som spelar en central roll inom skolmatematiken.

Vad är en skolmatematisk lärobok? Kanske är det en poäng att här försöka skilja mellan sådant som är tillfälligt och sådant som är nödvändigt för själva produktionen av skolans matematik. Till det tillfälliga skulle då hör sådant som att läroböcker idag består av papper och att eleverna använder penna när de löser sina uppgifter - inget hindrar teknikutvecklingen från att ändra på detta. Till det essentiella kunde man kanske föra
1. En oftast enskild tolkande praktik, där tolkandet som föremål har en serie väl avgränsade
2. uppgifter, som alla har ett
3. entydigt svar som är omöjligt eller åtminstone meningslöst att ifrågasätta (eftersom det antas emanera ur matematiken själv).

Till den skolmatematiska undervisningspraktikens något mindre uppenbara egenskaper hör även
4. att den tolkande inte har tillgång till de principer genom vilka svaret (facit) är producerat, utan har som uppgift att på egen hand härleda dessa genom vad som framställs som ett önskvärt "upptäckande", "begreppsbildning" eller helt enkelt "lärande". Om eleven redan visste allt, det vill säga "förstod", skulle givetvis övandet, lösandet av ytterligare uppgifter, framstå som meningslöst. Skolmatematiken vilar därför på antagandet om att det finns något som eleven inte vet, eller snarare inte har i sig, som lösandet av uppgifter, tolkandet, låter växa fram, bildas. Skolmatematiken ser därför som sin uppgift att i möjligaste mån garantera att eleven inte har tillgång till något "mekaniskt" sätt att besvara de frågor uppgifterna utgör, vilket i princip innebär att själva följden av frågor måste vara utformad så att den tolkande i möjligaste mån hindras från att "lyfta blicken", och från att gå händelserna i förväg (hela grundskolans matematik går ju exempelvis att sammanfatta på en lapp i A6-format) - något som skulle kunna reducera hela sjok av uppgifter till meningslösa trivialiteter. Enligt skolmatematikens logik - härledd från egenskaper hos skolans matematik - skulle i så fall något ha gått förlorat, nämligen den möjlighet till lärande och begreppsbildning som dessa uppgifter bar på.

Till skolmatematikens essens hör också
5. att förmågan att prestera, det vill säga förmågan att göra riktiga tolkningar av skolmatematiska uppgifter och producera just det svar skolmatematiken håller för riktigt, får livsavgörande konsekvenser. Det är på så sätt man får lära sig att matematik - det är allvar. Skolans matematik skulle inte vara vad den är om skolmatematik vore nån sorts frivillig hobbyverksamhet.

Det är nödvändigt att ta upp
6. kvantiteten - i antal uppgifter, den tid som ägnas åt tolkning mätt i antal gånger i veckan, i antal timmar, i antalet år av ens uppväxt den äger rum. Skolans matematik blir inte resultatet av några månaders träning i snabbräkning. Skolmatematiken är till sin natur något barn möter före puberteten och något som följer dem en bit upp i tonåren.

Till skolmatematikens mest svårbegripliga egenskaper hör slutligen hur den
7. utger sig för att handla om något annat än sig själv, och förmedlar detta genom formen hos den tolkning som eleverna måste lära sig för att kunna leverera. Fenomenet uttrycks i dess önskan om "realism", vilken i sin tur har en mängd dimensioner: uppgifterna skall handla om verkligheten, behandla verkliga föremål, men de skall också "vara verklighet", de skall utgöra ett simulerat varande i verkligheten, att lösa uppgifterna skall motsvarande lösande av "verkliga" problem, och det tillstånd av relativ ovetskap som skolmatematiken frammanar i sitt inre, skall motsvaras av det tillstånd av relativ ovetskap som antas vara en aspekt av varandet i verkligheten utanför skolan. Den fråga som skolmatematiken riktar till eleverna framträder därför (eller försöker åtminstone att framträda) som en fråga endast förmedlad av skolmatematiken från en avsändare utanför skolan, från den fysiska verkligheten och från den sociala verkligheten. Skolmatematikens noga konstruerade progression av uppgifter, dess frammanade tillstånd av ovetskap, framträder därför som en långsam introduktion till en i sig själv förunderlig yttre verklighet, omöjlig att begripa annat än genom en följd av små upptäckter, små steg mot behärskande.

Matematiken som referensobjekt

2009-07-04T11:17:00.001-07:00

Skolans matematik framträder som en fast punkt i en rad avseenden, till exempel som gemensam nämnare för terminologiska sammansättningar (som matematiskt tänkande, matematisk problemlösning, matematiska kunskaper och matematisk kreativitet) och som de skolmatematiska praktikernas gemensamma objekt.

En av de viktigaste sociala funktioner som skolans matematik fyller är emellertid att konstituera en sorts människovärdets metrik.

Skolans matematik tycks gjord av en substans som kan existera i olika hög utsträckning i människors inre, ungefär på samma sätt som en glödlampa kopplad till en dimmer kan lysa olika starkt. Tack vare denna egenskap hos skolans matematik kan skolans prestationsmätningar framstå som mätningar av något, snarare än som "meningslös" gradering.

Väsentligt att notera är här att mätresultatens värde och mening uteslutande konstitueras genom de institutionaliserade jämförelemekanismer som de är en del av. De framstår emellertid som individuella, i sig själva meningsfulla, mätningar av en universell substans.

Skolans matemtik ger upphov till samma typ av sociala magi som Marx beskrivit i fråga om pengar, vilka framstår som i sig själva värdefulla, trots att vi mycket väl "vet" att deras värde är helt och hållet socialt konstituerat. Marx skriver att pengarna gör oss blinda för de sociala relationer de representerar.

På exakt samma sätt är det med skolans matematik. Den gör oss blinda för de sociala mekanismer som är verksamma i skolan. Den gör det möjligt att betrakta det faktum att några med nödvändighet måste hamna längst ner på skalan som orsakat av att dessa individer saknar något. Fokus förskjuts från de socialt konstituerade relationerna till individen, vilket naturligtvis leder vidare till krav på förbättrad kunskapsförmedling, en bättre metod med vars hjälp matematikens inre ljus kan fås att skina.

Skolmatematikens kluvna subjektivitet

2009-07-04T02:35:00.000-07:00

Till skolmatematikens särdrag hör ett kluvet förhållande till sig själv. Det rör sig här inte om ambivalens, det vill säga osäkerhet eller instabilitet, utan om en uppdelning mellan två känslostämningar, sätt att tala och sätt att tänka som existerar sida vid sida och tillsammans konstituerar en sorts funktionell enhet.

Som objekt för sin egen blick består skolmatematiken av två väsensskilda substanser: matematik och skola. Det är viktigt att notera att båda dessa substanser konstitueras inom skolmatematiken, men framträder som på förhand givna och fixerade bortom den skolmatematiska subjektivitetens kontroll.

Relationen mellan matematiken och skolan (dvs som delar av skolmatematikens självförståelse) kan bäst beskrivas med hänvisning till de från den aristoteliska metafysiken härledda termerna actus och potentia. Matematiken utgör här en potential som skolan hindrar från att realiseras, dvs från att bli aktuell. Matematiken finns alltså i skolan, men inte som realiserad (eller aktualiserad) utan blott som något som borde vara där och skulle vara där, om inte skolan skulle hindrat den.

Matematiken tänks i sin aktuella form vara användbar, lätt att lära sig, rolig, intressant, meningsfull, och så vidare. Detta är vad skolmatematiken själv vill vara, och den hoppas kunna bli det genom att realisera matematikens potential.

Skolan tänks i sin tur utgöra ett hinder på grund av sin "traditionella" historia och den tröghet som binder den till sin historia samt de "funktioner" som skolan har att utföra i samhället (sortering, sysselsättning, disciplinering, osv). I motsats till matematiken är skolan det som finns här och nu. Den framstår som en trög oformlig massa.

Skolmatematiken strävar efter att realisera matematikens potential genom att undanröja det hinder som skolan utgör. Medlet att så att säga lösa upp skolan och få matematiken att träda fram, är den riktiga metoden som gör det möjligt för eleverna att möta matematiken sådan den i själva verket är, det vill säga som aktuell, realiserad.

Skolmatematikens självpåtagna uppgift är med andra ord självkritisk, men bara riktad mot en viss del av sig själv, nämligen sitt sociala och historiska vara. Bortom detta vara antas matematiken ligga förborgad som en vacker diamant. Den syns inte, men som skolmatematiker vet man att den finns där och man känner dess potential.

Det är med andra ord ett välkänt faktum att skolmatematiken "inte fungerar".

Uppdelningen mellan skola och matematik på objektets nivå motsvaras av en uppdelning på subjektets nivå mellan en så att säga imaginär utsagesposition och en (faktiskt) symbolisk utsagesposition. Skolmatematiken tror sig nämligen själv alltid tala med utgångspunkt från matematiken, det vill säga från en position som befinner sig utanför skolmatematikens historiska och sociala vara, som om talet inte var skolmatematiskt. Den skolmatematiska diskursen framträder alltså aldrig för sig själv som skolmatematisk, utan som en extern kommentar undantagen från skolmatematikens interna logik.

På en symbolisk nivå (vilket här ungefär motsvarar en social nivå, möjlig att förstå sociologiskt) är det emellertid enkelt att se att den skolmatematiska diskursen produceras inom institutioner som hör till skolmatematiken.

Vad man nu måste förstå är att exakt denna diskurs inte bara bidrar till att reproducera just det skolmatematikens historiska och sociala vara som den kritiserar, utan att själva den distans som diskursen utger sig för att uttrycka är absolut nödvändig för denna reproduktion.

För det första är det enkelt att se hur denna interna kritik gör skolmatematiken immun mot extern kritik, eftersom sådan kritik alltid tycks "slå in öppna dörrar" och dessutom vara jämförelsevis oinitierad.

Ur ett psykoanalytiskt perspektiv kan man mer exakt säga att skolmatematikens självdistanserade pose är reciprokt förbunden med de objekt den förhåller sig till, de två substanserna: skolan och matematiken, på så sätt att dessa inte kan existera utan denna distans, samtidigt som distansen inte är möjlig utan dessa objekt. Skolan kan vara ett hinder bara i förhållande till en potentiell matematik; matematiken kan framstå som en potential bara om den antas hindrad av skolan.

Framför allt skulle givetvis kritiken mot skolmatematiken vara helt förödande för den själv, om inte matematiken antogs finnas i skolmatematiken möjlig att så att säga avtäcka.

Matematikens utsida (eller mer exakt: utsidan av skolans matematik)

2009-06-30T10:34:00.000-07:00

Matematikens insida (eller mer exakt: insidan av skolans matematik)

2009-06-30T08:49:00.000-07:00

Då man vill förstå skolmatematiken och skolans matematik kan det vara användbart att göra en distinktion mellan matematikens insida och matematikens utsida. Det jag här syftar på är, mer exakt, insidan respektive utsidan av skolans matematik.

Matematikens insida vetter mot skolan. Matematikens insida är det man "ser" då man tänker på matematik inifrån någon av skolmatematikens institutioner, till exempel som lärare eller forskare. Matematikens insida tillhandahåller ett sätt att tala om skolmatematikens (interna) praktiker, genom sammanställningar som: "matematiskt tänkande", "matematisk problemlösning", "matematisk kreativitet" och "matematisk begreppsbildning".

Matematikens insida vetter mot skolan, men den vetter också mot eleven. Med en metafor kan man säga att matematikens insida har en klibbig yta, genom vilken matematiken kan fästas vid eleverna. Genom insidan kan eleverna ha matematiken, så att säga "i sig". Man kan ha (en förmåga till) matematiskt tänkande, matematisk problemlösning och matematisk kreativitet, man kan ha matematiska begrepp, och i eleven kan det (föreställer man sig inom skolmatematiken institutioner) pågå matematisk begreppsbildning.

När man inifrån skolmatematiken blickar mot det omgivande samhället, ser man detta samhälle, så att säga representerat av matematikens insida. Matematiken, och här är det kanske värt att påminna om att det rör sig om skolans egen matematik, fungerar som en skärm, vilken omsluter skolan och får det omgivande samhället att framträda i matematiska termer. Skolmatematiken utgår från att det omgivande samhället är impregnerat av matematik. Det blir effekten av att detta samhälle betraktas så att säga genom matematiken. Samhället tycks vara en plats där allt det som matematikens insida visar, hela tiden behövs. Man tycks behöva matematiska kunskaper och matematiska begrepp. På så sätt förlänar matematikens insida skolmatematikens praktiker med mening. Matematikens insida förbinder de skolmatematiska praktikerna med det omgivande samhället genom att fixera deras mål. Matematikens insida gör det möjligt att tala om skolmatematiken på ett meningsfullt sätt.

Med en psykoanalytisk term kan man säga att matematikens insida "innehåller" eller "konstituerar" en mängd sublima objekt. Karaktäristiskt för dessa objekt (dvs inte sublima objekt i allmänhet, utan de som hör till matematikens insida) är att de ter sig eftersträvansvärda och lockande.

Med en annan psykoanalytisk term kan man säga att de fixerar den skolmatematiska subjektivitetens begär. De konstituerar det mål man inom skolmatematiken strävar efter, och den bild som man vill efterlikna. Med fortsatt hänvisning till psykoanalysen kan man säga att matematikens insida innehåller en mängd föremål för imaginär identifikation. Matematikens insida anger vad man vill och hoppas skall hända inuti eleverna, vad man hoppas och vill skall bli resultatet av den skolmatematiska undervisningspraktiken.

En av mina teser är att dessa objekt bara existerar som en effekt av att skolmatematiken så att säga måste gå att tala om på ett meningsfullt sätt. De framstår som skolmatematikens (yttre) orsak, man är i själva verket en effekt av en inre ("social") nödvändighet. Objekten framstår som universella och eviga - som om till exempel det matematiska tänkandet vore en på förhand given möjlighet sprungen ur vad det innebär att vara människa - men är i själva verket fullständigt sammanvävda med de skolmatematiska institutionerna, på så sätt att objektet bara har mening och framstår som lockande inifrån dessa institutioner.

Skolans matematik

2009-06-30T02:27:00.000-07:00

Skolans matematik är mitt svar på frågan hur skolmatematiken (den institutionaliserade sociala praktik vars syfte är att leda till något allmänt gott med hjälp av undervisning i matematik) hänger ihop med matematiken (det svårgripbara fenomen som samtidigt är ett föremål för undervisning, namnet på en vetenskap, något som tycks "användas" i en rad sammanhang).

Det man i skolsammanhang benämner matematik tycks syfta på något som ligger bortom skolan själv (vetenskapen, något nästan överallt användbart, allestädes närvarande, etc). Matematiken framstår i skolsammanhang som något väsentligen annat än skolan själv, något givet som skolan har att utgå ifrån. Det tycks självklart att man från skolans håll inte har någon möjlighet att påverka vad matematik är.

Den första delen av min tes är att det sätt på vilket man i skolan förhåller sig till matematiken är skolans eget. Det har i skolsammanhang vuxit fram ideal för hur undervisning i matematik bör bedrivas, det har vuxit fram teorier för hur barn och ungdomar lär sig matematik, det har vuxit fram föreställningar om vad matematik är, vilken roll matematiken spelar i samhälle och vetenskap, samt varför det är viktigt att alla människor tar del av matematikundervisning under sin uppväxt.

Från skolans håll presenterar man dessa, vad man något förenklat kan kalla "förhållningssätt", som sprungna ur matematiken, det vill säga, man påstår att de är resultatet av en anpassning till matematiken, en nödvändig följd av hur matematiken i sig själv är - i egenskap av vetenskap, vardags- och yrkespraktik, något givet och allestädes närvarande, etc.

I själva verket har emellertid skolans sätt att förhålla sig till matematiken vuxit fram som en del av skolan själv. Den har inte "påverkats" och "anpassats" till en på förhand given matematik, eller en annan parallell utveckling av matematiken i egenskap av vetenskap. Undervisningsidealen är skolans egna och måste förstås historiskt och sociologiskt. Det samma gäller teorierna för hur man lär sig matematik, liksom argumenten rörande det allmänna behovet av grundläggande matematikundervisning.

Den första delen av min tes kan sägas bestå i att skolmatematiken har en hög grad av automomi i förhållande till andra samhällssfärer - däribland vetenskapen. Skolmatematiken framställer sig själv som underordnad vetenskapen och samhället, som dess tjänare. I själva verket är skolmatematiken (som en del av skolan mer allmänt) en autonom "positiv" kraft. Skolmatematiken - dvs i mer konkret bemärkelse de personer som är verksamma i eller i anknytning till skolan (lärare, pedagoger, didaktiker, tjänstemän på olika nivåer) - sätter i stor utsträckning sin egen agenda.

Detta innebär emellertid inte att de som är verksamma inom skolmatematikens ramar (som jag här sammanfattande betecknar "skolmatematiker") är medvetna om denna autonomi. Detta leder vidare till den andra delen av min tes rörande skolans matematik.

Den andra delen av min tes rörande skolans matematik är att de "förhållningssätt" till matematiken som vuxit fram och råder inom skolmatematiken har "materialiserats" eller med ett annat ord "reifierats" i matematiken. Vad som i själva verket är resultatet av en komplicerad historisk process, och i praktiken reproduceras genom svåröverskådliga sociala mekanismer, framstår som orsakade av matematiken i egenskap av ett på förhand givet, evigt och universellt objekt.

Den matematik som skolmatematiken kretsar kring "är" därmed i en mening något objektivt existerande - så till vida att den framstår som objektivt given, och därmed omöjlig att påverka, i synnerhet för enskilda individer. Från skolans håll ser det ut som att matematiken är det den är, och att man bara har ett anpassa sig till detta.

Det denna matematik "är" är emellertid skolmatematiken själv "i en annan form". Den är, kan man därför säga, skolans matematik.

Skolmatematiken är de facto resultatet av en svåröverblickbar historisk process; den har många drag som skulle kunna få den att framstå som gåtfull. Genom att framstå som sprungen ur matematiken, det vill säga rationellt härledd från matematikens inneboende egenskaper, flyttas denna gåtfullhet ut, från skolan, till matematiken. Det som framstår som outgrundligt är därför inte skolan, utan matematiken.

Den outgrundlighet som skolmatematiken ser i matematiken är därför bara skolmatematikens egen outgrundlighet i en annan form.

Skolmatematiken har, kort sagt, ingen rationell förankring, i matematiken. Den matematik den tycks kretsar kring är resultatet av en sorts intern klyvning.

Som en tredje del av min tes kan man säga att denna interna klyvning är absolut nödvändig för skolmatematikens sätt att fungera. I samma ögonblick som det framgår att den matematik skolmatematikens kretsar kring i själva verket är skolans egen, kommer skolmatematiken i egenskap av social institution att "falla" (vad detta nu skulle innebära).

Här är det dock nödvändigt att observera att det är långt ifrån enkelt att säga vad detta framgående skulle vara. Till den teori från vilken jag hämtat inspiration till den ovanstående analysen hör ett komplex av idéer rörande trons struktur. Bland annat talar man om en ofta förekommande "fetishistisk splittring", som innebär att människor kan "veta" något, men samtidigt agera "som om" de inte visste. Detta är mycket tydligt i fråga om skolans matematik. Från skolmatematikens håll är det normalt att "veta" att matematiken inte är sådan skolmatematiken framställer den. Likväl "tror" man på det, såtillvida att man agerar som om matematiken vore sådan. Man agerar på ett sätt som bidrar till att upprättahålla skolmatematiken i egenskap av social institution.