Några klargöranden angående den missnöjda elevens guide till skolmatematiken

På det förra årets sista dag (2011-12-31) fick jag ett mail från Ulf Persson med kritiska reflektioner angående mitt blogginlägg "Den missnöjda elevens guide till skolmatematiken". Detta är jag mycket tacksam för! Nedan försöker jag bemöta några av hans invändningar.

Det verkar för mig som att en kärnfråga rör vad det är som karaktäriserar "skolmatematiken" och skiljer den från "matematiken". Ulf skriver:

> din blogg andas en viss tvekan och
> osäkerhet i och med att du vill göra en
> åtskillnad mellan skolmatematik och
> matematik, utan att på något sätt
> indikera vad denna i konkreta termer
> innebär.

Hela mitt argument bygger på att det man gör i skolan inte kan beskrivas som att "lära sig matematik", att det inte kan reduceras till en fråga om mer eller mindre. Vad man då skall se skolmatematiken som istället är en svår fråga, och det här detta jag nog inte riktigt lyckats få fram. Svårigheten hänger samman med en annan invändning från Ulf, som handlar om att jag vill göra gällande att:

> [...] de som försvarar skolmatematiken
> är fångade i en box och inte förmår
> att klättra ur densamma [...]

Det här är en ganska bra beskrivning av vad jag faktiskt menar. Det finns ett ramverk, en låda, det jag i guiden kallar för "doxa" som de som försvarar skolmatematiken tar för givet. Jag förstår mig själv som ståendes utanför denna låda. (Det finns andra lådor som jag står i och andra står utanför, men det är en annan fråga.)

Jag kan förstå att metaforen med lådan och att de jag talar om och vill argumentera med skulle vara "fångade" är provocerande. Men det är ju inget argument för att den är fel, eller? Det är ju inte för att jag skulle vara särskilt smart, eller träffats av en inspirerande blixt som jag menar mig veta bättre i det här fallet. Det beror på att jag ägnat tio år åt att undersöka en massa texter som säger saker om skolmatematiken och fundera över hur dessa texter skall tolkas. Jag har förändrats under detta arbete, ändrat mig, på ett sätt som för mig känns ungefär som att kliva ur en låda, eller att vända mig om. Jag har lärt mig se skolmatematiken på ett annat sätt än man brukar, och det är detta andra sätt som jag försöker förklara i min guide.

Ur min blogg härleder du som jag förstår dig slutsatsen att jag skulle förspråka att man i viss mån "tar bort" matematiken, att man gör den till ett elitämne som bara en mindre grupp elever får ta sig an. Det är kanske en rimlig slutsats, men jag vill gärna vänta med den här frågan om alternativ till den rådande ordningen. Jag är ganska övertygad om att det finns något viktigt, som har med skolmatematiken att göra, som jag inte lyckats förklara och som jag gärna vill få fram.

Alltså: de som ägnar sig åt skolmatematik idag, lärare, forskare, utredare och andra, tänker sig ofta att den är till för att elever skall "lära sig matematik". Men vad eleverna i praktiken gör i skolan beror på en komplicerad följd av händelser som ingen av dessa personer vet särskilt mycket om. Frågan är varför man tänker sig att man lär sig matematik just så. Jag tycker att jag försökt säga detta tusen gånger och vet inte riktigt hur jag skall formulera det för att poängen skall gå fram. Detta med att man skall börja med matematiken så tidigt, ägna så mycket tid åt den, lära sig genom "problemlösning", och mycket annat.

Doxa; med dina ord, boxen, består i att man tar detta för givet. Vad är det man tar för givet?

Alltså - jag märker att risken är stor att jag bara upprepar mig. Jag förstår helt enkelt inte vad det är du inte förstår. Jag försöker ju beskriva doxa i min guide - det verkar poänglöst att göra det en gång till. Mitt intryck är att dina invändningar rör sig på ett slags nutidsplan, som om det inte fanns något djupt och svårt att förstå, som om frågan var ganska enkel och handlade om matematikens plats i skolan. Det jag vill åstadkomma är att man lämnar detta synsätt.

Kanske kan några exempel öppna upp.

Jag jobbar just nu med tyska texter publicerade under första halvan av 1800-talet. En av dessa böcker handlar om räkneudnervisningens historia och publicerades 1888: Die Rechenunterricht in der deutschen Volksschule: Vom standpunkte des erziehenden unterrichts av Berthold Hartmann. Den handlar om två saker: Dels vad som är syftet och målet med undervisning i räkning, dels hur man genom undervisning skall nå detta mål. En sak som är fascinerande med dessa texter, och denna tid och plats, är att sådana som Hartmann, som skrev på 1880-talet, förstod sig själva som slutpunkten på en knappt hundraårig utveckling av teorier kring dessa frågor. De skrev sådant som att: "I huvudsak måste räkneundervisningens metod idag betraktas som avslutad" (s. 87). De betraktade räkneundervisningens metod som lärarseminariernas "glansfack" (s. 88) och var stolta över att, i motsats till andra skolämnen, hade räknemetodikerna skapat sin egen teori, istället för att låna den från filosofin och fackämnena själva. Helt centralt var steget, som enligt dem själva togs på 1850-talet, från att det var matematiker som visst bäst om räkneundervisningen, till att det var pedagoger som visste bäst (tex s. 60).

Vad man kan läsa om i Hartmanns bok från 1888 är en serie av förändringar i synen på räkneundervisnignens mål och medel som i hans perspektiv är en utveckling från det sämre till det bättre. Utvecklingen börjar med en berömd Schweizisk pedagog som heter Henrich Pestalozzi, och inkluderar de relativt välkända pedagogerna Adolph Diesterweg och Johann Friedrich Herbart men framför allt en stor uppsättning okända skolmatematiker, tex. Ernst Hentschel och August Wilhelm Grube.

Det som framför allt karaktäriserar denna utveckling är att de syften och mål som man talar om inte är att man skall lära sig räkna. Man skall inte heller lära sig matematisk teori. Istället talar man om en mängd andra mål som man menar sig kunna nå på räkneundervisningens väg. Här är några exempel på hur det kunde låta:

"Pestalozzi stellte den Unterricht durchaus in den Dienst der Erziehung. Derselbe sollte erziehender Unterricht werden. Als Zweck der Erziehung aber galt ihm die Menschlichkeit. Under dieser verstand er, nach seinem eigenen Worten, die Erhebung der Menschennatur aus der sinnlichen Selbstsucht ihres tierischen Daseins zu dem Umfange der Gegnungen, zu denen die Menschheit sich durch die harmonische Bildung des Herzens, des Geistes und der Kuhnst zu erheben vermag." (s. 61)

Det handlar alltså om uppfostran och om att "höja människonaturen". Detta var emellertid Pestalozzi - i början av Harmanns utvecklingsberättelse. Längre fram kommer tex Jänicke, det jag citerade ovan, om att räknemetodiken var ett i stort sett avslutat område. Citatet fortsätter så här:

"Es ist die Methode, welche den unwandelbaren Gesitzen der Entwickelung des menschlichen Geistes, wie dem Wesen des Lehrstoffs vollständig angemessen ist, welche durch die formelle Bildung zugleich vollen Gewinn für das Leben erzielt, bei welcher also die Zahl und ihre Gesetze den Mittelpunkt bilden, um welchen die sachlichen Verhältnisse sich ordnen. Weder das praktische, noch das geistbildende Element darf überwiegen; nur in der gleichmäβigen Betonung und der gegenseitigen Einschlieβung, Durchdringung und Förderung beider Prinzipien liegt die goldene Mittelstraβe eines rationellen Rechenunterrichts. Sein Ziel ist: Durch Übung der geistigen Kraft Bildung fürs Leben."

Det stora framsteget här, jämfört med Pestalozzi, är att man nu förstått att värdera även det praktiska kunnandet. Men märk väl! Det praktiska kunnandet skall nås så att säga genom det som de kallar "kraftbildning".

En viktig detalj med den här "kraftbildningen" är att den hänger ihop med en metafor om byggande. Man talar om att lägga ett "fundament" om vikten av att inte slarva med det mest elementära, om att ägna mycket tid åt det enklaste. Idén är att man inte egentligen skall ägna så mycket tid åt det man faktiskt skall kunna göra, utan det som man tänker sig ligger till grund för detta görande. Rent konkret innebär detta att man ägnar många år åt de hela talen 1 till 10, på bekostnad av att lära sig operera med de större tal om sedan ofta förekommer i praktiken. Och vad man gör med dessa små hela tal, syftar till "kraftbildning" och är alltså något väsentligen annat än det man gör med tal utanför skolan.

Om man nu lite förenklat går fram till slutet, det som är Hartmanns egen ståndpunkt, så sker faktiskt en rörelse bort från det praktiska igen. Nu är det högsta målet vad de kallar "sedlig bildning". Det som saknats tidigare och som nu tillkommer är formandet av viljan, man skall inte bara bildas, få starkare själskrafter och så vidare, utan också vilja bildas, vilja räkna, vilja förstå. Så det centrala målet blir att forma denna vilja. Man talar också om kärlek, man skall fås att älska objektet, som förstås som talet. Man tänker sig att räknande ytterst handlar om tal och att undervisningens sedlighetsbildande kraft ligger i möjligheten att få elevena att älska dessa tal.

Vad är nu poängen med att berätta om allt detta?

Jo, att det finns en jättestark koppling mellan det Hartmann pratar om och var tids skolmatematik. För det första pratar man om mål och medel på liknande sätt. För det andra ser själva klassrumspraktiken liknande ut.

Ett bra exempel på koppling är kanske detta med "attityder" till matematiken. Man sätter igång stora statliga satsningar på att "förbättra" dessa attityder. Ambitionen är slående lik Hartmanns och Grubes.

Vad jag är ute efter är något som är ganska vanligt inom humaniora och samhällsvetenskap, nämligen att försöka visa fram gammalt tänkande och historiska utvecklingsprocesser som liksom finns inbakade i nuet, i hur vi pratar, i vad vi tar för givet, i vad vi gör. Det här som jag dykt ner i, 1800-talet, tyska texter, är en liten del av det här som jag tycker mig veta något om, som jag vill berätta om, som jag menar är viktigt för att förstå vad detta med skolmatematik är för något.

Här finns också mitt svar på frågan vad som skiljer skolmatematiken från matematiken.

Det här som Hartmann pratar om, det har ytterst lite med den vetenskapliga matematiken att göra. Det är ganska lite att göra med allting annat än det som sker i skolan.

Kanske är ett problem här (jag vet inte!) att du och många andra har svårt att se själva det man gör i skolan som något gåtfullt, märkligt, fascinerande, problematiskt. Det är ju en annan sak man pratar om ganska ofta inom samhällvetenskapen: att ett viktigt första steg är att känna sig främmande inför något som i vanliga fall (för alla de där som är inne i boxen) framstår som normalt och självklart.

Detta blev ganska långt det också, och inte särskilt välstrukturerat, men kanske tar det diskussionen ett litet steg framåt.

Den missnöjda elevens guide till skolmatematiken version 0.88

Den här texten är lite av ett experiment och säkert i behov av en hel del förbättringar. Vill gärna ha förslag till hur den kan göras mer rätt och begriplig.



Den missnöjda elevens guide till skolmatematiken

Många barn och ungdomar har svårt att se poängen med den matematikundervisning de tvingas ta del av. När de säger detta till sina lärare och föräldrar möts de av argument för varför denna matematikundervisning trots allt är nödvändig och bra.

I diskussionen som uppstår är det svårt för eleven att göra sin ståndpunkt gällande. Situationen är maximalt assymetrisk. Läraren har en statlig propagandaapparat understödd av ett helt forskningsfält i ryggen. Eleven har knappast något mer än sin egen erfarenhet av att något är fel.

Med den här texten vill jag bidra till att jämna ut den här obalansen. Texten innehåller en mängd förslag till hur man kan tänka kring skolmatematiken. Förhoppningsvis gör dom det lättare att förstå vad det är man är med om när man sitter där i klassrummet och räknar.

En fråga som kommit upp när jag pratat med människor om den här texten är att det är fel att, så att säga utsätta elever för en så här hård kritik av skolmatematiken. Det jag påstår är att skolmatematiken faktiskt är så trist och meningslös som den verkar. Det man sagt till mig är att detta är något man inte borde få reda på som elev, för då skulle man bli - jag vet inte vad: apatisk kanske, deprimerad. Och man behöver ju faktiskt bra betyg i matematik. Så det man behöver är därför mycket mer peppning än en sådan här kritisk sågning av skolmatematiken.

Vad skall man svara på det? Jag tänker så här. I skolsammanhang pratar man ibland om bildning. Vad är det att vara bildad? Ja, man kan mena många olika saker med det, men en sak man menar är att man skall kunna reflektera. Kanske kan man också säga så här: man skall vara öppen för att kunna ändra ståndpunkt. Man skall låta sig utmanas av argument. Man skall veta saker om vad som hänt förr i tiden och kunna förstå sin samtid i ljuset av detta. Man skall vara intresserad av vad som är rätt och sant. En känd filosof som hette Immanuel Kant pratade på 1700-talet om "mod att tänka själv".

Det är det jag är ute efter. Jag kan inte förstå hur det skulle kunna vara skadligt.


Skolmatematiken är ett tidskrävande obligatorium

Låt mig börja med att definiera vad skolmatematik är för något.

Mitt förslag till startpunkt är att skolmatematiken är ett tidskrävande obligatorium. För det första, att skolmatematiken bygger på tvång. Alla är tvingade att ta del av dem. För det andra, att den inte är något man tar sig an en eftermiddag för att sedan lägga bakom sig. Nej, skolmatematiken kräver i storleksordningen ett decennium av mer eller mindre dagligt engagemang.

En viktig sak med denna definition är att den kopplar isär argument för ”matematikens nytta” från argument för ”skolmatematikens nytta”. Många argument för varför skolmatematiken är viktig handlar egentligen om att matematiken är viktig. Om man definierar skolmatematiken som ett tidskrävande obligatorium, som något som har med tvång och tid att göra, så blir denna sorts argument ganska irrelevanta. Det spelar helt enkelt ingen roll för diskussionen kring skolmatematik om matematiken är viktig för teoretisk fysik eller månresor, så länge man inte också kan visa att det tidskrävande obligatoriet har någonting med denna matematikanvändning att göra.

På ett liknande sätt är det med argument som har att göra med vardaglig användning av matematik. Exempel som ibland kommer upp när man pratar om skolmatematikens nödvändighet är att man ”behöver kunna matematik” när man skall ändra i recept eller räkna ut hur mycket färg eller tapet man skall köpa när man skall renovera.

Genom att fokusera på skolmatematiken som tidskrävande obligatorium, måste den som försvarar skolmatematiken visa sambandet mellan skolmatematiken och förmågan att ändra recept på rätt sätt och att köpa lagom mycket tapet. Att påvisa något sådant samband är betydligt svårare än att säga att man ”behöver matematik” i en mängd olika sammanhang.

Faktum är att det inte finns några belägg, vetenskapliga eller andra, för något sådant samband. De undersökningar som gjorts pekar snarare på att det inte finns något samband. Bagare och målare utmärks inte av sina särskilt goda resultat i skolan. De som varit duktiga på matte i skolan är inte särskilt duktiga varken på att ändra recept eller köpa lagom mycket tapet.

Något helt annat är att det ju kan verka som om det fanns ett samband, man kan tro det, precis som man kan tro på Gud eller tomten. Mer längre än till tro kommer man inte på den punkten.



Skolmatematiken är en institutionaliserad praktik

Inom samhällsvetenskapen använder man ordet praktik för att tala om sådant som människor gör. Sätter man institutionaliserad framför, så det blir institutionaliserad praktik, så menar man en praktik som är stabil över tid och rum, det vill säga något som människor gör på ungefär samma sätt på många olika platser, och på ungefär samma sätt för säg tio år sedan som idag. Skolmatematiken är en sådan institutionaliserad praktik. Den är tidskrävande, obligatoriskt deltagande i en institutionaliserad praktik.

De som försvarar skolmatematiken försöker ofta att blanda bort korten att börja tala om matematiken istället för skolmatematiken. De talar om hur stor roll den spelar, hur användbar den är, hur viktigt det är med kunskaper i matematik. När man möter denna retoriska strategi skall man föra tillbaka samtalet till det som händer i skolan och fråga efter sambandet mellan den skolmatematiska praktiken och allt det fantastiska som hänger ihop med matematiken. Fråga till exempel hur ditt deltagande i en tråkig och till synes meningslös matematiklektion leder dig till detta goda som matematiken har att erbjuda. Fråga efter belägg för att detta är den bästa vägen till målet.

Det är viktigt att komma ihåg att ett ifrågasättande av skolmatematiken inte är samma sak som att ifrågasätta vetenskapen eller att vara teknikfientlig. Den strategi som jag skall föreslå i den här texten är tvärtom att isolera det som utgör skolmatematikens särdrag, att visa att det tidskrävande obligatoriet faktiskt inte har särskilt mycket med varken teknik eller vetenskap att göra.



Artikulering av skolmatematikens doxa

Vi har nu avgränsat skolmatematiken som ett tidskrävande och obligatoriskt deltagande i en institutionaliserad praktik. Istället för att fokusera på vad denna praktik ”innehåller” – vad man som elev ofta gör – brukar de som försvarar skolmatematiken hellre tala om hur viktigt det är med matematik. Man tänker sig att matematiken är på ett visst sätt och därför måste skolmatematiken finnas och vara på ett visst sätt. Men det sägs sällan rakt ut: så här tänker vi och därför gör vi så och så.

Inom samhällsvetenskapen använder man ordet doxa för att tala om sådana outtalade idéer. Doxa är det som inte behöver sägas, det som alla är överens om, det som är ”uppenbart”. Det vill säga, det som är uppenbart för alla som delar doxan. Till exempel är det ”uppenbart” att alla måste gå i skolan för att lära sig matematik.

När det gäller skolmatematiken kan man säga att det är doxa som får den att framstå som självklar, oundviklig och nödvändig. Anledningen till att skolmatematiken är så svår att kritisera är att denna doxa ofta delas även av de som är kritiska!

Vad vi måste göra är därför att synliggöra vari doxan består, för att sedan kunna visa att den inte är uppenbar och sann på det sätt som den verkar vara. Man kan tala om detta synliggörande som att artikulera, uttala, sätta ord på, doxan. Jag skall försöka sätta ord på vad nästan alla som försvarar skolmatematiken utgår från utan att säga det.

Det är rent allmänt lurigt att sätta ord på något som alla är överens om. Det som ofta händer är nämligen att de som är överens inte känner igen sig i de ord man använder. Och det finns inte ett enda ”rätt” sätt att artikulera doxa. Tvärtom är det snarare så att det är väldigt oklart vad människor egentligen tror på och utgår från, just eftersom att de tar detta något så mycket för givet att de inte funderat så mycket på det. Reaktionen inför frågorna: Är det det här du tror på? Är det på grund av detta som du gör som du gör? blir ofta: nejnej, så är det inte.

Detta skall man ha i bakhuvudet är man försöker artikulera någon annans outtalade utgångspunkter. Man skall inte tro att man får medhåll bara för att man har rätt.

Det som talar till din fördel när du försöker artikulera skolmatematikens doxa är att matematiken (enligt denna doxa själv!) så tydligt hänger ihop med förnuft och rationalitet. De som försvarar skolmatematiken är mer eller mindre tvungna att underkasta sig det förnuftiga samtalets regler. Om de inte gör det, har det ju så att säga motbevisat sig själva. De vill, med största sannolikhet, kunna ange goda skäl till varför de står upp till skolmatematikens försvar.

Det allra enklaste argumentet för skolmatematiken är kanske att ”alla behöver kunna matematik”. Vår definition av skolmatematiken som tidskrävande obligatorium gör att detta argument inte längre duger. För vad är det som säger att man inte kunde lära sig det man behöver kunna på ett annat sätt och långt snabbare? Min poäng är att ett försvar för skolmatematiken måste ta sig an den skolmatematiska praktikens särart.

Skolmatematiken är extremt standardiserad. Alla elever skall göra ungefär samma sak. Det är detta görande som måste försvaras. Och en viktig del av detta är att skolmatematiken tar så enormt lång tid i anspråk. Försvaret måste ta sig an att alla måste göra detta, skolmatematik, så väldigt länge. Det som måste försvaras är idén att alla måste göra samma sak under väldigt lång tid.

Doxa säger att alla måste göra just detta precis så här länge, för att sedan ”kunna matematik”. Det är ”uppenbart”. Varför är det uppenbart?

Med risk, som sagt, för många skall känna sig lite främmande för det jag skriver, skall jag nu försöka artikulera den skolmatematiska doxan dels när det gäller hur man lär sig matematik, dels när det gäller vad det innebär att ha kunskaper i matematik.



Hur man lär sig matematik

När det gäller hur man lär sig matematik är en viktig ”uppgift” för doxan att få det att framstå som självklart att det tar lång tid att lära sig matematik. Genom att titta på hur skolmatematiken är organiserad är det ganska lätt att utveckla detta lite.

”Uppenbarligen” (enligt doxa) är matematiken också något som man bör börja lära sig redan som barn. Det sägs ibland att man inte kan börja nog tidigt.

En annan sak är att det behövs särskilt utbildade lärare för att få lärandet att äga rum. Det finns till exempel ett helt forskningsfält, matematikdidaktiken, som utforskar hur man (enligt skolmatematikens doxa) lär sig matematik.

Den slutsats man kan dra av detta är att detta med att lära sig matematik är något som inte bara tar lång tid, det är något komplicerat som bara sker under speciella omständigheter. Man kan jämföra med att prata. Det lära sig alla utan att gå i skola. Det hör till skolmatematikens doxa att man inte får kunskaper i matematik utan skolmatematik.

Man kan också jämföra med hur man lär sig det man behöver kunna för att bli en duktig läkare. Det är ett bra exempel eftersom det ganska uppenbart både involverar ”teoretiskt” kunnande, att förstå hur en mängd olika komplicerade saker hänger ihop, och ett praktiskt hantverk. Medicin finns inte som ämne i skolan och ingen (?) tänker sig att man inte kan börja nog tidigt med ”medicinen”. Även om få skulle ifrågasätta att det är svårt att lära sig det som man måste kunna för att vara en duktig kirurg, tänker man inte på ett sådant sätt om denna svårighet att det motiverar ett tidskrävande obligatorium liknande skolmatematiken. – Men alla skall ju inte bli kirurger! Men alla skall ju inte heller bli matematiker!

Den svårighet som skolmatematikens försvarare hamnar i är att hon måste påstå att det är den vanliga, vardagliga matematikanvändningen som är så svår att lära sig att den kräver ett decennium av mer eller mindre dagligt engagemang. Är det verkligen så svårt att lära sig ändra recept? Eller att räkna ut arean på en vägg? Och de som kan detta, har de verkligen lärt sig det i skolan?

Ett annat argument för det tidskrävande obligatoriet är att skolmatematiken behövs som förberedelse för att de som vill sedan skall kunna gå vidare och bli ingenjörer och matematiker. Man säger att skolmatematiken behövs för att lägga en grund för alla. Och om inte alla hade fått en sådan grund, skulle inte någon kunna bli matematiker. Hur skall man tänka kring detta argument?

Ja, det finns ju många saker som är svåra, som bara några vuxna gör, till exempel att vara kirurg. Och det utbildar sig nya regelbundet nya kirurger, utan att ”medicin” (eller vad det skulle kallas) är ett obligatoriskt och tidskrävande ämne i skolan. Varför skulle inte detta vara möjligt även när det gäller matematiken?

Det är skolmatematikens doxa som gör dessa frågor möjliga och till och med enkla att besvara.

Skolmatematiken bygger på en föreställning om att det är något mycket speciellt att lära sig matematik. Att lära sig matematik skiljer sig från hur man lär sig andra saker. Och det skiljer sig på ett sådant sätt att matematik är något alla bör börja med tidigt, som alla bör ägna ett decennium åt i skolan, och så vidare.

Helt centralt för skolmatematiken är att kunskaper i matematik är något annat än fakta, något annat än saker som man lärt sig utantill, något annat än att följa regler, något annat än att ha lärt sig formler. Det här kan du gärna prova att fråga precis vem som helst som tar skolmatematiken i försvar. Om de säger att skolmatematik handlar om att lära sig fakta och formler utantill får de väldigt svårt att försvara det tidskrävande obligatoriet. De kommer också ha svårt att hitta meningsfränder.

Så hur lär man sig matematik egentligen, enligt skolmatematikens doxa? Jo, det sker genom en komplicerad process som involverar åskådning och självverksamhet. Detta är två ord som har en lång historia inom skolmatematiken, och de används kanske inte så mycket idag. Om man skall sätta ord på skolmatematikens doxa tycker jag ändå att de är de mest träffande.

Åskådning är viktigast för den del av skolmatematiken som involverar yngre barn. Tanken med åskådning är att man lär sig matematik genom att titta på och pyssla med föremål, snarare än att jobba med siffror och formler.

Självverksamhet innebär att man lär sig matematik genom att tänka själv snarare än att ta in information som man får presenterad för sig. Tanken är att man konstruerar, skapar, bildar, formar sin egen kunskap, och att man inte kan ”ta över” denna kunskap från någon annan. Man talar ibland om problembaserat lärande, det vill säga att man lär sig genom att lösa problem som man ställs inför. Oftast talar man om att bilda eller forma kunskaper, men ibland talar man också om att upptäcka matematiken.

Ordet självverksamhet kommer från det tyska ordet selbsttätigkeit. Det är ett gammalt tyskt ord som knappast används längre, åtminstone inte utanför sammanhang som har med skolan att göra. Vad ordet betyder har väldigt mycket att göra med ett antal filosofiska idéer som hittades på årtiondena kring 1800. Idén med självverksamhet är att man bara kan bli så som man bör vara genom att själv ha kontrollen över den process genom vilken man förändras. Man skall ”göra sig själv”. Man skall vara i en sorts verksamhet där man själv har kontrollen; verksamheten skall vara ”självstyrande” eller kanske ”självutvecklande”. Och vad bör man vara? Som Gud. Det låter väl helt främmande idag, men det var så man tänkte. Att lära sig matematik hängde ihop med att bli som Gud.

Så idén med självverksamhet är att man snarare än att ”skaffa sig” kunskaper, skall bli en sådan som ”kan matematik” och detta kan man bara bli genom att vilja bli det, man måste själv ha satt som mål att bli just detta. Man måste vara intresserad av att bli en sådan som kan matematik och sedan självverksamt sträva efter detta.

Båda dessa två grupper av idéer, de som hänger ihop med åskådning och de som hänger ihop med självverksamhet, får det tidskrävande obligatoriet att framstå som vettigt. I yngre åldrar ägnar man sig mycket åt åskådning, till exempel i så kallade matematikverstäder. Fokus förskjuts sedan allt mer mot självverksamhet i form av problemlösning.

Det är viktigt att se här, att denna praktik kan fungera som praktik, oavsett huruvida det sker något ”lärande” eller inte. Problemlösning, om man nu tar det som exempel, kan ta hur lång tid som helst. Problemen kan göras svårare och svårare och de kan alltid göras fler och fler. Hur lång tid det tar att ”lära sig” beror på hur svåra problem man kräver att eleverna skall kunna lösa vid skolgångens slut.

En konsekvens av dessa idéer om hur man lär sig matematik är att det måste ta tid. Enligt dessa idéer går det i princip inte att får ”riktiga” kunskaper i matematik som vuxen. Matematisk kunskapsbildning (som man ibland kallar det) är en process av utveckling (ett annat ofta använt ord) som inte kan ersättas med några korta veckors hårt pluggande.

Detta är märkligt eftersom människor bevisligen kan läsa in grund och gymnasieskolans matematikkurser på komvux – på betydligt kortare tid än om de gått den vanliga vägen. Har dessa vuxna inte riktiga matematiska kunskaper? Det är en bra fråga att ställa till skolmatematikens försvarare. Om ”Jo” – varför inte byta ut decenniet av barn och ungdomsundervisning mot en termins (eller vad det kan tänkas ta) vuxenundervisning? En ytterligare fördel med detta arrangemang är att de tilltänkta vuxna eleverna, eftersom de är vuxna, också kundes ges tillfälle att själva välja om, när och på vilket sätt de vill få sina kunskaper i matematik.



Vad det innebär att kunna matematik

Men vad innebär det då att kunna matematik?

Idéerna kring åskådning och självverksamhet, idén att vägen mot matematiska kunskaper är lång och komplicerad, hänger ihop med en idé om att det är något väldigt speciellt och värdefullt att kunna matematik.

Det mest centrala bland de outtalade föreställningar som hänger ihop med skolmatematikens mål, de matematiska kunskaperna, är att detta mål är dubbelt.

• Å ena sidan handlar målet om något praktiskt, om att kunna något, till exempel att kunna mäta area och ändra recept eller möjligen att bygga broar och rymdraketer.

• Å den andra sidan handlar matematiska kunskaper om något annat, större och mer svårgripbart, om att förstå, om att skapa ordning i kaos, om att tänka på ett visst sätt, att vara kritisk och kreativ.

Det är svårt att argumentera för att alla behöver 10 år för att lära sig mäta area. Men argumentationen involverar alltid också det andra, som är något mer än det rent praktiska. Man talar om sådant som matematiskt tänkande, matematisk problemlösningsförmåga, logiskt tänkande, kritiskt tänkande, matematisk kreativitet och många andra liknande saker. Vad det handlar om är, kan man säga, en sorts omvärldsuppfattning, ett sätt att uppfatta världen, där matematiken fungerar som en resurs för att skapa ordning där det annars skulle ha varit rörigt. Den här sidan av de matematiska kunskaperna handlar om förmågan att förstå.

De som argumenterar för skolmatematiken talar ibland om förmågan att lyssna på argument, att diskutera på ett bra sätt, att fungera bra i det demokratiska samhället och sådant. Allt detta handlar om den andra, högre, mer svårgripbara sidan av de matematiska kunskaperna.

Den absoluta kärnan i den skolmatematiska doxan består i övertygelsen att dessa två bra saker – den väl avgränsade och enkla praktiska färdigheten och den svårgripbara matematiska omvärldsuppfattningen – inte kan skiljas från varandra. Man tänker sig att samma institutionaliserade praktik skall leda till båda dessa mål.

Idén att dessa två saker hänger ihop är inbyggd i själva idén om kunskaper i matematik. Det är därför det är viktigt, om man vill kritisera skolmatematiken, att ta sikte på själva denna idé. Från denna idé om kunskaper, följer den skolmatematiska praktiken som ett brev på posten. Det går inte att kritisera den skolmatematiska praktiken på ett effektivt sätt, utan att samtidigt (eller kanske först) ta sig an den idé om kunskaper i matematik som skolmatematiken hänger ihop med.

Vad händer om man bryter sönder de matematiska kunskaperna i sina beståndsdelar? Man kan till exempel fråga sig vad man behöver kunna för att göra om ett kakrecept som är gjort för 40 kakor till ett som istället ger 60 kakor. Hur skulle en skolmatematik se ut som bara tog sikte på detta, och en mängd andra lika väl avgränsade problem?

Och om man istället fokuserar på den andra sidan av de matematiska kunskaperna, förmågan att lyssna på argument, att tänka kritiskt, att fungera bra i det demokratiska samhället utan att få några praktiskt användbara färdigheter – hur skulle en sådan skolmatematik se ut?



Skolmatematikens kosmos

Skolmatematikens doxa hänger ihop med en mer övergripande världsbild. Jag kommer att här att tala om denna världsbild med hjälp av ordet kosmologi. Med det menar jag just en idé om hur världen hänger samman och vad den består av.

Det kan tyckas långsökt att gå från en diskussion om skolmatematik till en diskussion av ”hur världen hänger samman”. Var är poängen med det? Poängen är samma som när det gällde att gå från en diskussion av skolmatematiken till den doxa som sätter ramarna för hur man kan prata och tänka kring den. Jag menar: om man har en viss idé om hur man lär sig matematik, och en viss idé om vad det innebär att kunna matematik – då kan utrymmet vara ganska litet att föreställa sig alternativ till skolmatematiken så som den ser ut idag.

Det jag vill att vi skall göra nu är att ta ytterligare ett steg från doxan, till den kosmologi som doxan är en del av. Skolmatematiken är nämligen sådan att den är väldigt mycket sammanvävd med en hel världsbild, på ett sådant sätt att den framstår som helt oundviklig, om man är ”inne” i denna världsbild.

Sen är det såklart också så att jag inte vill att man behöver reda ut hur hela världen hänger ihop, bara för att man skall kunna reflektera kring skolmatematiken. Poängen är bara den här: att det finns en idé, som hänger samman med skolmatematiken, om att matematik är något som finns i världen på två olika sätt. Dels finns matematiken ”där ute”, i världen, till exempel i form av naturlagar. Dels finns den ”i oss människor”, i form av kunskaper. Det viktiga är att matematiken antas vara något som har denna speciella egenskap att kunna finnas på dessa två olika sätt.

Är detta hårklyveri? Nej, det är faktiskt väldigt viktigt, för det hänger ihop med idén om de två olika men sammanvävda målen, och även med idén om åskådning och självverksamhet. I själva verket är det många saker här som hänger ihop på ett ganska intrikat sätt – utan att någon kanske egentligen har överblick över hur dessa saker hänger ihop: åskådning, självverksamhet, praktisk nytta, omvärldsuppfattning, obligatoriet och att det tar så väldigt lång tid att lära sig matematik.

Den idé som jag vill fokusera på är att matematiken på ett unikt sätt så att säga binder samman oss människor med världen. Denna idé är flera hundra år gammal. Betydligt äldre än skolmatematiken faktiskt.

Det finns en mängd personer som artikulerat denna idé på olika sätt. En av dessa är matematikdidaktikern Ole Skovsmose. Han förespråkar vad han kallar kritisk skolmatematik. Han vill ändra på skolmatematiken; göra den till något som hjälper människor, snarare än – som nu – stjälper dom.

Problemet med Skovsmoses förändringsförslag är att det utgår precis exakt från den kosmologi som skolmatematiken hänger ihop med. Konsekvensen av detta är att hans kritik blir av ett särskilt slag som jag längre fram i den här texten kommer att kalla ”standardkritik”. Mer om det strax alltså.

Skovsmose tänker sig att matematiken spelar en väldigt viktig roll för hur samhället fungerar. Han har myntat uttrycken ”matematikens formatterande kraft” och ”frusen matematik”. Hans idé är att matematiskt tänkande så att säga ligger bakom till exempel teknik (som datorer och bilar) som spelar en viktig roll i samhället. Eftersom matematik används när samhället har skapats är matematiken så att säga inbyggd i samhället självt. Denna tanke är väldigt lik hur man kan tänka sig att matematiken är inbyggd i naturen, i form av naturlagar. Skovsmose har skapat en social variant av denna bild av naturen. Han har matematiserat samhället; gjort det i sig självt matematiskt.

Sedan, i nästa steg, säger han att det enda sättet att förstå sig på samhället, är genom att att se denna matematik och det kan man bara om man har kunskaper i matematik.

Skovsmose är väldigt ifrågasättande och kritisk, och han är ett bra exempel på hur det kan gå om man inte går till botten med skolmatematikens doxa och den kosmologi som jag skriver om här. Vad som händer är att konsekvensen av hans kritik, trots att han är aldrig så kritisk, faktiskt blir att ge ett starkt stöd till skolmatematiken. För enligt Skovsmose är det bara genom skolmatematiken som man kan få de där matematiska kunskaperna alla behöver. Skovsmose vill att skolmatematiken skall reformeras. Han är inte motståndare till det tidskrävande obligatoriet.

Ungefär detsamma gäller Mogens Niss, en annan ganska känd forskare i matematikdidaktik. Han har myntat uttrycket ”matematikens relevansparadox”. Med detta menar han att de som argumenterar för skolmatematik har ett stort problem eftersom bara de som har matematiska kunskaper ser och förstår hur viktig matematiken är. Faktiskt säger Skovsmose ungefär samma sak: att det bara är genom att kunna matematik som man kan se och förstå att samhället är ”frusen matematik”. Båda är eniga i samma slutsats: att alla behöver lära sig matematik.

Man kan säga att Ole Skovsmose och Mogens Niss artikulerar den kosmologi som skolmatematiken hänger ihop med. De preciserar den, på olika sätt. Båda två menar att skolmatematiken måste reformeras. Samtidigt är de båda två övertygade om att skolmatematiken behövs. De ifrågasätter inte den doxa som får själva idén med ett tidskrävande obligatorium att framstå som vettig och nödvändig. Det tror att kunskaper i matematik är något otroligt viktigt som bara skolmatematik kan leda till.

Sen är det tyvärr lite mer krångligt än så.

En viktig pusselbit för att förstå detta med skolmatematik är nämligen att många av de som argumenterar för skolmatematiken på ett lite märkligt sätt också argumenterar mot den. Det människor brukar argumentera för är faktiskt inte skolmatematiken, utan snarare matematiken och vikten av att alla får de där dubbla matematiska kunskaperna, som både är praktiskt nyttiga och skapar – som Skovsmose och Niss uttrycker det – en förståelse för hur verkligheten egentligen är.



Den skolmatematiska praktiken är en ritual

Skovmose och Niss pekar på en viss möjlighet till tänkande och förståelse som de tänker sig att matematiken öppnar för. Skolmatematiken har emellertid också en annan sida. En mörkare sida, kan man säga.

Skolmatematiken liknar i mångt och mycket en ritual.

Det här kan man säga i allmänhet, och förmodligen få medhåll även från många av skolmatematikens försvarare. Jag skall vara lite mer exakt, och precisera man kan mena med ordet ritual. En känd antropolog som heter Roy Rappaport definierar en ritual på följande sätt:

- Det är en praktik där det inte är människorna som deltar i den som bestämmer vad de skall göra. Vad de skall göra är, till en viss grad, istället förutbestämt på något sätt.

- Det är en praktik som sker på en särskild plats, som följer ett särskilt schema, som är noga reglerad och ofta på ett eller annat sätt är ganska repetitiv.

- Det är en praktik som är stabil i tid och rum, det vill säga: det görs på ungefär samma sätt på många olika platser och på ungefär samma sätt för några år sedan som idag.

Skolmatematiken passar väldigt bra in på denna definition.

Skolor och klassrum är en väldigt speciell miljö som inte liknar så mycket annat i samhället. Under lektionerna är det varken eleverna eller lärarna som bestämmer vad som skall ske: i stor utsträckning är det förutbestämt av läromedel, kursplaner, nationella prov med mera. Elevens väg genom skolmatematiken följer en ganska noga reglerad plan. Vad eleven gör är noga övervakat och reglerat (och det gäller för den delen ganska mycket även läraren). Skolmatematiken är repetetiv, den är standariserad och den förändras inte särskilt mycket över tid.

Det är inte särskilt troligt att någon som försvarar skolmatematiken skulle ifrågasätta detta.

Det intressanta och komplicerade är nu att skolmatematikens doxa, som säger hur skolmatematiken bör vara, är ganska förenlig med skolmatematiken som ritual. Samtidigt klingar ordet ritual inte särskilt bra. Vill de som försvarar skolmatematiken ha en skolmatematisk ritual? Nej, det vill dom inte. Eller: om de vill ha en ritual så vill de med största sannolikhet ha en ritual som är rolig och meningsfull. Och så som skolmatematien ser ut idag är den, verkar det som – och detta kan ju du som elev vittna om – tvärtom ofta tråkig och till synes meningslös.

När man kritiserar skolmatematiken är det väldig viktigt att ha en bra förståelse för relationen mellan de som försvarar skolmatematiken och det faktum att skolmatematiken i mångt och mycket är en ritual. Jag skall nu försöka förklara hur denna relation ser ut.



Ambivalens och reformlust

Något man nästan alltid vid någon punkt möter när man kritiserar skolmatematiken är att den man argumenterar med börjar hålla med. Den som till att börja med tog skolmatematiken i försvar håller nu med om att skolmatematiken faktiskt ofta är trist och meningslös. Är man då överens?

Nej, den avgörande skillnaden ligger i vad man tänker sig måste göras. Om man utgår från den kosmologi som passar skolmatematiken, och skolmatematikens doxa, så framstår det som uppenbart att skolmatematiken behövs. Inte nog med det – det framstår också som självklart att man bara kan lära sig matematik genom åskådning och självverksamhet, och så vidare. Detta är något helt annat än den slutsats man kan komma till om man går lite djupare, och ifrågasätter även dessa utgångspunkter.

Det viktiga att förstå här är att nästan alla som håller på med skolmatematik har ett ambivalent förhållande till skolmatematiken sådan den faktiskt är. Å ena sidan är det ju skolmatematiken man försvarar. Å andra sidan tycker man inte om den. Det man tycker om är snarare matematiken.

Det är inte minst på grund av denna förskjutning, från skolmatematiken till matematiken, som det blir väldigt viktigt att förstå skolmatematikens doxa. Detta eftersom det är denna doxa som gör att man faktiskt kan försvara skolmatematiken genom att försvara matematiken. Doxan knyter ihop de två. Poängen är att man försvarar en viss idé om matematiken som gör skolmatematiken nödvändig.

Oavsett hur det ser ut när diskussionen börjar kan du som kritiker, om du sköter dig bra, räkna med att den som försvarar skolmatematiken börjar tala om nödvändigheten av att ändra på skolmatematiken. Hon vill inte längre försvara den så som den faktiskt är, utan vill istället tala om något annat, som inte finns, men som skall finnas i framtiden.

Resonemanget är följande: skolmatematiken är kanske trist och meningslös idag, du kanske varit med om något jättetråkigt, kanske får till och med de allra flesta snarare ångest en kunskaper av skolmatematiken. – Men! Det kommer alltid ett ”men” och här fungerar verkligen detta ord som ett suddgummi. ”Men” skall få dessa erkännanden, dessa fakta om skolmatematiken kunde varit helt förödande för dess rykte, att framstå som en ovidkommande detalj.

I ljuset av detta ”men” blir alla argument, alla fakta om skolmatematiken, allt lidande den orsakar, meningslösa. Skolmatematiken kan vara hur idiotiskt meningslöst plågsamt ångestskapande som helst. Det spelar ingen roll.

Det viktiga är istället matematiken, att man behöver ”kunskaper i matematik”, att det är roligt att lära sig matematik, att den behövs för tillväxten och demokratin. Matematiken har nu plötsligt ingenting alls att göra med skolmatematiken. Å ena sidan är skolmatematiken nödvändig för att ge alla de kunskaper i matematik de behöver. Å andra sidan har skolmatematiken, i den mån den är meningslös och skapar ångest, ingenting med matematiken att göra.

Vilken kritiker som helst kan bli förvirrad över denna vändning. Precis i denna punkt i diskussionen är det som svårast att hålla tungan rätt i mun.

Det som hänt är att den som försvarar skolmatematiken flyttat fokus från skolmatematiken sådan den är, till skolmatematiken så som hon önskar att den vore. – Jo, kan man svara, det är ju en fin idé du har där, om en obligatorisk, tidskrävande institutionaliserad praktik men den finns ju inte!

– Men vi håller på att ändra allt precis just nu! Det där du talar om, det tråkiga och meningslösa, vi är så medvetna om detta, och det är så olyckligt. Stackars dig, och stackars alla andra som drabbast av detta. Dumma skolmatematik! Men idag, precis idag, eller kanske imorgon, så skall allt bli helt annorlunda. Skolmatematikens försvarare är bra på att lova, eller åtminstone på att hoppas.

De är också bra på att behöva – även om det är en sida som du som elev inte ser så mycket av. För att kunna ändra på allting så behöver de resurser. Men det är en annan historia.

En helt avgörande konsekvens av försvararens förskjutning av fokus, från skolmatematiken sådan den är, till en idé om hur skolmatematiken skulle kunna vara, är att argument som bara handlar om själva skolmatematiken inte fungerar för att kritisera den.

I själva verket ägnar sig skolmatematikens försvarare själva väldigt mycket åt precis sådan kritik, som handlar om hur skolmatematiken är, och jämför den med hur de tänker sig att den skulle kunna vara. Jag har hittat på uttrycket ”standardkritik” för att prata om detta. Detta är det vanligaste sättet att kritisera skolmatematiken.

Om man vill kritisera skolmatematiken ordentligt måste man akta sig för att hamna i ”standardkritik”. Den leder ingen vart. Dess kännetecken är att den utgår från skolmatematikens doxa.

Det är på grund av denna fälla som jag ägnat så mycket utrymme i den här texten åt just skolmatematikens doxa.

Om man skall kritisera skolmatematiken ordentligt, på ett sätt som gör att den kanske förändras eller försvinner, måste man ta sikte på de outtalade utgångspunkter som får själva idén med skolmatematiken att framstå som vettig.

Jag skall nu ta upp lite forskning, inom olika områden, som pekar mot att dessa outtalade utgångspunkter är felaktiga, och att skolmatematikens inte bara inte fungerar, utan inte ens kan fungera.

Skolmatematiken är i detta avseende som åderlåtning (dvs låta människor blöda under kontrollerade former för att på så sätt bota dom från olika sjukdomar). Åderlåtning har aldrig haft någon positiv effekt. Det har aldrig hjälpt människor att bli friska. Däremot så har många som blivit åderlåtna som blivit friska ändå. Och man har också kommit på, när man undersökt åderlåtandet historiskt, att olika saker som hängde samman med åderlåtandet, miljön som det skedde i och så vidare, faktiskt hjälpte en del att bli friska. Själva åderlåtandet däremot, och detta är ju självklart för oss idag, stjälpte snarare än hjälpte.

Tänk nu att en åderlåtande läkare konfronterades med statistik som visade att åderlåtning statistiskt sätt leder till att människor dör oftare och fortare, snarare än tvärt om. (Faktum är att denna konfrontation faktiskt ägt rum!) Om han skulle göra som skolmatematikens försvarare skulle han hävda att åderlåtningen inte skett på rätt sätt, att det är en gammal sorts traditionell åderlåtning som man ägnar sig åt och att han är i full färd med att reformera den. I framtiden, minsann, skulle han säga, kommer åderlåtning att bota människor, istället för att, som nu, döda dom. Och – om konsekvenserna av detta försvarstal skulle vara de samma som de är för skolmatematiken – sedan skulle den reformerande läkaren få pengar för att kunna trycka upp en informationsbroschyr med riktlinjer för ”modern” åderlåtning. Samtidigt som åderlåtandet fick pågå, obehindrat, som vanligt.

Skolmatematik är som åderlåtning. Det är en skadlig praktik baserad på felaktiga idéer om hur man lär sig sådant man har nytta av och vad det innebär att ha kunskaper över huvud taget. Jag skall nu gå in lite mer i detalj på vad det är som är fel med skolmatematikens doxa.



Frågan om transfer

En viktig förutsättning för att skolmatematiken skall framstå som förnuftig är att man kan lära sig något på en plats som man sedan har nytta av på en annan plats. Det måste vara möjligt att lära sig något i ett klassrum som man sedan har nytta av på andra platser, till exempel hemma i köket eller på en arbetsplats.

Det är många som funderat kring om detta är möjligt. Man använder ordet transfer för att prata om det här. Transfer betyder att man kan ”flytta kunskap” mellan olika platser.

Skolmatematiken bygger på att man kan flytta ”kunskaper i matematik” mellan olika platser. Den utgår från att man kan ”få” kunskaper i skolan som man sedan kan ”använda” på andra platser än i skolan.

Jag sätter citationstecken runt en del ord här. ”Få” och ”kunskaper i matematik” och ”använda”. Det beror på att de här frågorna är svåra att prata om. Det beror i sin tur på problemet med att artikulera som jag skrivit lite om tidigare. Detta att sätta ord på vad människor utgår från och uppfattar som uppenbart. Problemet är att människor inte känner igen sig i de ord man använder, och detta oberoende av vilka ord man använder.

När du diskuterar transfer med någon som tar matematiken i försvar kan du räkna med problem. Det bästa att göra i en sådan situation är kanske att fokusera på kärnfrågan: att skolmatematiken äger rum i skola och att den på något sätt skall vara till nytta utanför skolan.

Ett ord som har använts väldigt mycket för att prata om hur detta med transfer fungerar är begrepp. Man har talat om matematiska begrepp som det som man skall bli resultatet av att man deltagit i skolmatematikens tidskrävande obligatorium. Dessa begrepp skall formas eller skapas eller bildas eller upptäckas. Det finns många olika sätt att prata om vad det är man tänker sig skall hända i skolan.

Det är ganska självklart att vissa sorters kunskaper kan flyttas mellan olika platser. Till exempel är det ju uppenbarligen så med saker man lärt sig utantill. Om du vet att 7*8=56 så vet du ju det oberoende av var du befinner dig.

En annan sak som också är ganska självklar är att om du lärt dig göra något sådant som att äta med kniv och gaffel så påverkas inte denna förmåga särskilt mycket av var någonstans det är du äter. Att cykla är ett annat bra exempel på sådan kunskap. Kan du cykla i Sverige så kan du också cykla i Norge.

Men hur är det nu med skolmatematiken?

Är den som i det första exemplet? Skall man sätta fingret på något typiskt för detta exempel så är det att det inte spelar någon roll hur man lärt sig att 7*8=56. Detta vetande är inte knutet till någon särskild lärandepraktik. Det finns inget djup i sådan kunskap. Den är platt. Antingen vet man vad 7*8 är eller så vet man det inte. Och det är ganska enkelt att säga när man har nytta av denna kunskap. Nämligen när frågan uppstår om vad 7*8 blir.

Det som skall bli resultatet av deltagandet i skolmatematikens tidskrävande obligatorium är inte någon sådan platt utantillkunskap. Om det vore så, skulle inte skolmatematiken behöva ta så otroligt lång tid. Det skulle också vara svårt att argumentera för obligatoriet – för hur hemskt är det att inte veta vad 7*8 är? Man överlever. Och om man inte gör det så är det svårt att påstå att det skulle vara särskilt märkvärdigt att lära dig det.

Det är tvärtom väldigt viktigt för skolmatematiken att den är en särskild praktik, en praktik där något komplicerat händer som man kallar formandet av matematiska kunskaper. Kärt barn har många namn. Ibland tar man i och talar om kunskapsbildningsprocessen.

Detta fokus på praktiken gör att det matematiska kunnandet tycks ha mer likheter med att kunna cykla än att kunna gångertabellen. Att lära sig cykla är uppenbarligen en praktik. Man kan inte lära sig cykla genom att någon säger till en hur man gör. Man kan inte lära sig det från en bok. Man måste ha en cykel och sedan öva sig.

Fast det som skiljer kunskaper i matematik både från att cykla och att spela schack är att man tänker sig att matematiska kunskaper spelar roll på ett mycket mer allmänt sätt. Att kunna cykla har man bara nytta av när man skall cykla. När har man nytta av sina matematiska kunskaper?

Det hör till skolmatematikens kosmologi att livet i det ”moderna samhället” kräver kunskaper i matematik jätteofta. Det är som om det jätteofta uppstod situationer där man behöver ”cykla någonstans” med sina matematiska kunskaper.

Jag tror att chansen är ganska stor att den som du argumenterar med köper den här liknelsen. Det låter bra: att kunna matematik är som att kunna cykla.

Problemet är bara att ingen lyckats visa att matematiska kunskaper är på det här sättet.

Det finns en avgörande skillnad mellan att lära sig cykla eller lära sig spela schack, och å andra sidan att lära sig matematik. Cykla gör man på en cykel, och man har en cykel såväl när man lär sig cykla som när man sedan cyklar. Schack gör man på ett schackbräde. Man kan säga att de här sakerna, tingen, bidrar till att skapa en viss situation. En praktisk situation som är samma när man lär sig som när man ”använder”. Man gör samma sak. Lärandet och användandet är samma praktik.

Som jag skrivit om ovan så kan man beskriva den skolmatematiska praktiken som en ritual. Den skolmatematiska praktiken är väldigt speciell. Och enligt den skolmatematiska doxan så skall den också vara väldigt speciell. Den måste vara det för att kunskaper i matematik kan ta form. Här kommer vi igen tillbaka till den skolmatemtaiska kosmologin. Man tänker sig att matematik är något väldigt speciellt. Därför tänker man sig att detta att lära sig matematik också måste vara något väldigt speciellt.

Den situation där man lär sig matematik liknar inte alls de situationer där man skall ha nytta av sina matematiska kunskaper. Skolmatematikens doxa säger att matematiska kunskaper är på ett sådant sätt att detta inte spelar någon roll. Men det finns inga belägg för att det är på det sättet. Det finns inga belägg för att skolmatematik kan fungera, att det finns något sådant som kunskaper i matematik som beter sig på det sättet som de borde göra om världen verkligen var så som den skolmatematiska kosmologin säger att den är.

Man kan göra en vetenskapshistorisk parallell. Jag talade ovan om åderlåtning. Det kunde ha fungerat, men det fungerar inte. På samma sätt är det med skolmatematiken. Det låter bra, men nej: det fungerar inte. Själva idén bygger på en idé om hur världen är som är fel.

Istället är det så att det man lär sig när man deltar i skolmatematiken är väldigt knutet till just denna rituella praktik. Självklart är det många som blir bättre och bättre på något när de deltar i skolmatematiken. Man vad de blir bättre på är att prestera just där.

Om man skall läsa en bok om detta med transfer så skall man läsa antropologen Jean Laves Cognition in Practice från 1988.

När man diskuterar detta med transfer är det ganska troligt att den man diskuterar med faller tillbaka på det ”uppenbara”, det vill säga doxa. Det är då bra att veta att även det som verkar uppenbart kan vara fel. ”Är det inte bra att kunna matematik?”, ”Behöver inte alla lära sig matematik?” När man möter dessa ”självklarheter” så måste man försöka hålla kvar fokus på problemet kärna: det tidskrävande obligatoriet och allt det som får själva idén med ett sådant tidskrävande obligatorium att framstå som förnuftigt. Kom ihåg att alla blir tvingade. Och det de blir tvingade till är inte ”att lära sig matematik” utan att delta i en väldigt speciel praktik. En praktik som kan beskrivas som en ritual.

Kom ihåg jämförelserna med ekonomi eller medicin. Det är också svåra saker, men det finns ingen skolekonomi eller skolmedicin i samma bemärkelse som när det gäller skolmatematik.

Jean Lave är antropolog. Hon är en av många antropologer som funderat över och undersökt detta med vad människor gör och vad det innebär att människor kan något. Hon är expert på detta. Hon säger att detta med transfer inte fungerar så som det måste fungera som skolmatematik skall vara en förnuftig idé. En bra fråga till den du diskuterar med är vad han eller hon baserar sina argument på. Är de baserade på forskning? Sociologisk forskning? Antropologisk forskning? Historisk?

Det är ganska troligt att den du argumenterar snarare utgår från det som är ”uppenbart”.

Möjligen utgår han eller hon från matematikdidaktiken. Se då till att precisera frågan. Fråga efter undersökningar av transfer. Det finns ytterst få sådana undersökningar och om det är något resultaten av dessa undersökningar säger, så är det att skolmatematiken inte fungerar.



Nätverk, standardisering och samhällets reproduktion

Om kunskaper i matematik inte är något generellt verktyg som man kan skapa sig i skolan och sedan använda utanför skolan, vad är det då? Det verkar ju som om kunskaper i matematik är något väldigt användbart. Hela skolmatematiken utgår ju från att de är något man kan forma sig eller bilda sig, eller hur man nu uttrycker det.

Ett alternativ till detta sätt att förstå saken är att tänka att det vi pratar om som ”kunskaper i matematik” är knutet till en viss sorts mätande praktiker. Nästan alltid när man talar om kunskaper i matematik som syftar man till syvende och sist på resultat på matteprov. Det kan vara ”nationella” prov eller prov i internationella undersökningar som PISA eller TIMSS. Eller så handlar det om betyg. Man säger att eleverna inte fått ”tillräckliga kunskaper” och då menar man att de inte fått godkänt betyg. Och det beror såklart i sin tur, igen, på något provresultat.

Det man måste göra nu, för att kunna krisiera skolmatematiken ordentligt, är att frigöra sig från tanken att dessa prov mäter något. Det är ju nämligen så man tänker sig det hela utifrån skolmatematiken doxa. Det finns något där: kunskaperna. Och dessa finns det mer eller mindre av. De kan vara på ett eller annat sätt.

Istället för att tänka att proven är som mätinstrument, som mikrofoner som mäter hur starkt något låter eller som vågar som väger hur tungt något är, skall man tänka att de är som delar i en fabrik, som skapar något. Man skall tänka sig att proven hänger ihop med ”lärandepraktiken”. De är båda delar av samma fabrik.

Skillnaden är väldigt viktig.

Det något som man enligt skolmatematiken doxa tänker sig att proven mäter, är så att säga gjort av matematik. Det har en form, eller hur man nu skall uttrycka det, som är given, som kommer från matematiken. Det är denna form som ger kunskaperna alla sina fantastiska egenskaper, som sin dubbelhet och sin flyttbarhet. Matematiken ger formen, skolmatematiken fyller på med innehåll.

Alternativet är att tänka sig att alltihopa beror på skolmatematiken själv. Det som händer är att eleverna lär sig spela ett spel, eller leka en lek. De har övat sig på en viss sorts problem, som man kallar ”matematik”. De övar sig på lektionerna och allteftersom de blir bättre så säger man att de får ”mer kunskaper”. Så gör man ett prov. Ett prov som ganska mycket liknar övandet. Och så får man ett kvitto. Sen kallar man detta ”kunskaper i matematik”.

Och det som händer när man anväder ordet matematik är att denna egenskap hos eleverna, deras förmåga att spela skolmatematikens spel, kopplas loss från detta spelande, och kopplas på till matematiken. Tack vare skolmatematikens kosmologi knyts förmågan ihop med naturen, samhället, livet och universum.

Och då framstår det såklart som väldigt viktigt hur ”mycket man kan”.

Men om man tänker att det som mäts är förmågan att spela att säreget spel. Då framstår det inte alls som så viktigt.

Eller?

Jo, det är ju viktigt, för det spelar roll om man får bra eller dåliga betyg.

Men detta beror på hur samhället fungerar. Hur man valt att det skall fungera, eller så som det blivit – kanske utan att någon egentligen haft kontrollen över hur.

Det man skall komma ihåg, när man kritiserar, är att det är betygen som spelar roll, resultaten på vissa mätningar. Man kallar dessa mätresultat för ”kunskaper i matematik”. Men vad det i grund och botten handlar om är förmågan att spela ett spel.

Denna förmåga är viktig i samhället, men det beror på att samhället är ordnat på ett sånt sätt att den gjorts viktig, genom den roll som betyg i matematik spelar i olika sammanhang.

Kom ihåg att detta inte har något att göra med huruvida matematiker är viktiga för samhället, eller ingenjörer, eller forskare. Man säger att de ”använder matematik”, och det är inte direkt något fel i det. Vad de inte använder är förmågan att ”spela skolmatematik”. Kanske var matematikerna och ingenjörerna en gång duktiga på skolmatematik! Troligtvis var de det, för annars skulle de väl inte kunnat ta sig till dessa yrken. Men de använder inte denna förmåga i sin yrkesutövning.



Slutsats

Det finns mycket mer att säga om skolmatematiken. Till exempel om dess historia. Men det får räcka här.

Har jag hjälpt någon? Det återstår att se. Jag har försökt skriva enkelt men de idéer jag försökt förklara är svåra. Kanske låter det hela bara konstigt. Kanske vill du som läser detta mycket hellre stanna i standardkritikens klagan över hur bra skolmatematiken skulle kunna vara om den bara gjorde matematiken rättvisa.

Kanske är du som läser detta en av skolmatematikens försvarare, som hittat kryphål och fel i texten som låtit dig vila i din tro.

Skolmatematiken är djupt rotad i samhället och i det sunda förnuftet. Genom att den är ett tidskrävande obligatorium och genom den roll betyg i matematik spelar så är den en realitet. Den är en del av verkligheten. Man har den rakt framför ögonen. Den är uppenbar.

Att se den på ett annat sätt, att se den som något annat, kräver oundvikligen ett stort arbete.

Den dolda läroplanens genomskinlighet

Jag skall här försöka förklara en idé rörande skolmatematiken som nästan uteslutande bygger på resonemangen i Robert Pfallers bok Die Illusionen der anderen (2002). Pfallers huvudreferenser är Freud, Octavio Mannoni, Lacan och Johan Huizinga. Hans stora bedrift är att med hjälp av psykoanalys och Huizinga presentera en klargörande tolkning av en mängd enkelt observerbara kulturella fenomen.

Jag försöker använda Pfallers tolkningsmodell för att förstå skolmatematiken. Detta innebär att jag här har två olika uppgifter. För det första att presentera och förklara Pfallers resonemang. För det andra att knyta dem till skolmatematiken. Självklart är det heller inte fråga om någon enkel användning, utan om ett försök att tänka skolmatematiken genom Pfallers idéer. Jag kommer därför att både behöva berätta om vad skolmatematik är och förklara hur den kan förstås i Pfallers terminologi.

Mitt huvudsakliga syfte är att sprida ljus över skolmatematiken. Vad jag försöker göra kan emellertid ses som ett specialfall av ett mer allmänt projekt, nämligen att förstå skolans ämnen som relativt autonoma "ideologimaskiner" (eller ideologiska statsapparater, för att använda Althussers terminologi) som bidrar till någon typ av gemensam modern och västerländsk subjektivitet och som bidrar till skapandet av ett gemensamt modernt socialt imaginärt (Castoriadis).

Mitt resonemang utgår från ett antal nyckel-idéer. Var och en av dessa kommer jag dels förklara i relativt allmänna termer, dels knyta till det specifikt skolmatematiska.

1. En förbjuden handling
=========================
Låt mig börja med idén om en förbjuden handling, eller möjligen också: en förbjuden njutning. Idén kommer från Freud och handlar hos honom såklart om enskilda individer. För mig handlar denna tanke både om enskilda individer och om ett mer övergripande samhällsfenomen. Detta behöver å andra sidan inte vara helt olika saker. Jag tänker mig att samhällsfenomenet uppstår som en följd av en viss typ av "standardiserad" subjektivitet där många människor fungerar på ungefär samma sätt.

Handlingen måste vara förbjuden, men den måste också finnas en anledning att utföra den, den måste vara lockande eller av en eller annan anledning påbjuden. Det är inte nödvändigt att tala om "njutning" och denna term kan kanske för vissa kännas främmande och avskräckande. Det väsentliga är att handlingen "måste utföras", men "inte kan" utföras - för enskilda individer såväl som på en övergripande samhällelig nivå.

För skolmatematikens del kan denna handling beskrivas i termer av disciplinering, utestängning och sådant som att hålla barn sysselsatta och därmed borta från arbetslivet (så att de varken arbetar själva eller stör sina föräldrar). Det är idag förbjudet och tabubelagt att se skolmatematiken som en instans vars syfte är att disciplinera, stänga ute och sysselsätta. Om detta skall ske, måste det ske "som något annat". Det sker, menar jag, genom skolmatematik (bland annat).

Detta innebär inte att vi inte ser och "inser" att skolmatematiken fyller dessa sociala "funktioner". Tvärtom! Det vet vi mycket väl. Det väsenliga är att vi (dvs det moderna sunda förnuftet) inte kan acceptera att skolmatematiken fyller dessa funktioner, och i synnerhet inte att detta är dess syfte eller att den är "bara" detta. Enkelt uttryckt är det något vi vet men inte tycker om, något vi ser som ett tillfälligt olycksfall, något vi försöker motarbeta och justera.

Mitt argument i fråga om detta förbjudna har en historisk dimension. Det har inte alltid varit tabu att tala om folkundervisning i disciplinerande termer. Tvärtom. Relativt godtyckligt kan man välja 1840-talet som en tidpunkt som ligger "före" tabuproblematiken. Då handlade folkundervisning snarast om ordning, om att säkerställa en viss relativt konstant samhällsstruktur. Ambitionerna var inte onda. De innefattade att förhindra de värsta sorternas armod och elände. Men ambitionen var inte att hjälpa var och en så långt upp i samhällshierarkin som möjligt, att låta samhället organiseras efter meritokratiska principer eller att realisera varje människas inre potential. De breda lagren, folket, skulle lära sig frukta Gud, lära sig att det finns en ordning där man har en plats som bestämts på förhand, en plats som är ens egen och som man gör bäst i att älska. Man talade ofta om frihet i termer av att förstå och känna sig tillfreds med det "nödvändiga", nämligen samhället så som det är.

Så kan vi inte längre se på skolan. Det är förbjudet och tabu. Mer exakt blev detta tabu kring sekelskiftet 1900, men den process jag skall beskriva har åtminstone två steg. Ett steg togs kring sekelskiftet 1900, ett andra togs, tror jag, kring 1970.

I takt med att demokratiska och meritokratiska ideal fick en allt mer dominerande ställning i samhället, blev den tidigare skolan omöjlig att tala om på samma sätt som tidigare.

2. Ersättningshandling
=======================
Nästa centrala idé är idén om en "ersättningshandling". Det är en handling som utförs istället för den handling som är förbjuden. Denna handling skall förstås som en kompromiss, en "kompromissbildning" (Pfaller, Freud), som genom möjligen ganska komplicerade mekanismer, i synnerhet det Freud kallar förskjutning, för subjektet, i viss mån, kan fungera som en ersättning av den förbjudna handlingen. Ersättningshandlingen är också, om än på andra sätt, njutningsfull. I den mån den förbjudna handlingen får en viss typ av effekter, så får ersättningshandlingen motsvarande, om än något annorlunda, effekter.

Min tes är att det moderna utbildningssystemet, och i synnerhet den moderna skolmatematiken, kan förstås som en sådan ersättningshandling. En ersättning för de mekanismer som tidigare bidrog till att skapa ordning i samhället. Självklart är det inte fråga om någon exakt "ersättning". Om inte annat är det samhälle som den nya handlingen, den nya institutionen, ingår i ett annat än det tidigare. Det väsentliga är att den nya handlingen har en motsvarande funktion, nämligen att bevara samhällets ordning.

Det som gör handlingen till en "ersättningshandling" är att det nya samhället - de demokratiska, meritokratiska idealen - gör att denna funktion inte kan utföras "öppet". Annorlunda uttryckt: den ordningsskapande funktionen måste i det moderna samhället utföras under andra diskursiva och "imaginära" förutsättningar, nya regler för vad som är tillåtet och inte tillåtet att säga och tänka, andra regler för vad som är legitimt. (Angående legitimitet, se Boltanski och Thevenot, On Justification, 1991 på franska, 2006 på engelska.)

Ersättningshandlingar verkar tvingande på subjektet, de måste utföras och utförs på ett tvångsmässigt sätt. Relationen till denna handling blir laddad och förbunden med starka känslor. Enkelt uttryckt går det inte att föra enkla rationella samtal om denna typ av handlingar. Den som utför dem kan inte riktigt genomskåda varför hon gör som hon gör, men känner starkt att handlingen är "nödvändig" och måste utföras.

När det gäller det tvingande momentet kan man tänka på tvångsmässigt tvättande, eller den enorma lusten att titta på fotboll live på TV, eller vilken som helst typ av beroende där inte det kemiska spelar huvudrollen, tex spelberoende.

För skolmatematikens del förstår vi detta tvång i termer av behovet av kunskaper i matematik. Det är omöjligt att tänka det moderna samhället utan skolmatematik. Kanske är det viktigt att här poängtera att termen "skolmatematik" inte skall förstås pejorativt utan snarast som "den institution som syftar till att i unga år ge alla människor de kunskaper i matematik de behöver för sitt fulla deltagande i det moderna samhällslivet", i motsats utbildningar till specifikt matematiska yrken.

Det är med andra ord matematiken som binder oss (det moderna subjektet) till skolmatematiken. Det är som om matematiken gjorde skolmatematiken nödvändig.

3. Bekännelseobjekt
====================
För att ersättningshandlingen skall kunna fylla sin funktion måste den i någon mening motsvara den handling som ersätts. För att förstå hur detta går till i skolmatematikens fall behöver man förstå Pfallers distinktion mellan "vidskeplighet" och "bekännelse". I Pfallers bok spelar vidskeplighet huvudrollen och det är även denna typ av tro han tar upp först. Här skall jag istället börja med att ta upp den senare "bekännnande" typen av tro.

Bekännande tro är tro som vi står för. Det kan rör sig om tro på demokrati, Gud, kommunism eller marknadsekonomi. Av central betydelse här är tro på matematik och tro på kunskaper i matematik.

Min tes är att skolmatematiken hänger samman med en bekännande typ av tro på matematiken. Jag menar att det hör till det moderna samhällets sunda förnuft, till dess doxa, att vara övertygad om det allmänna behovet av kunskaper i matematik. Till detta hör en (ofta oartikulerad) visshet om att det finns matematiskt formulerbara naturlagar som gäller överallt i universum, att matematiken spelar en central roll inom vetenskapen och att kunskaper i matematik kan vara till stor nytta för att förstå en mängd olika fenomen och för att lösa små och stora problem.

Det är inget konstigt med detta. Jag tror också på naturlagarna.

Tämligen intrikat är emellertid relationen mellan denna bekännande tro och skolmatematiken förstådd som ersättningshandling. Det är nämligen tron på matematiken som gör skolmatematiken möjlig som ersättningshandling. Man kan säga att skolmatematiken framträder i matematikens ljus, att skolmatematiken får sin mening, sin bestämning, av matematiken och matematikens egenskaper.

Två centrala egenskaper hos matematiska kunskaper är: 1) att alla behöver dem samt 2) att skolmatematiken är den instans, den institution, den praktik, den "handling", genom vilken de skall komma till stånd, skapas, produceras, bildas.

Därigenom implicerar tron på matematiken skolmatematikens nödvändighet.

Man kan också vända på detta orsaksförhållande och säga: vi tolkar vår tvångsmässiga bindning till skolmatematiken genom matematiken, genom att tillmäta matematiken en viss uppsättning egenskaper. Skolmatematikens historia talar för att många av matematikens egenskaper - inte de egenskaper den tillmäts av forskande matematiker, utan de egenskaper den har för det sunda förnuftet - har sitt ursprung i skolmatematiken och ett behov av att få den att framstå som meningsfull.

Alla ersättningshandlingar behöver inte bekännelseobjekt. Följande två exempel är hämtade från Pfaller:
1) En akademiker är ambivalent inför läsande. Hon känner att hon måste älska att läsa, men vill egentligen inte, och hatar i själva verket lästvånget. Hon har därför satt i system att dra mängder av kopior som hon samlar på, dock utan att sedan läsa dem. Kopierandet är en ersättningshandling, en kompromissbildning. Pfaller säger att denna handling "fungerar" genom vad han kallar en "genomskådad fantasi", eller här mer träffande: en fantasi som ingen någonsin skulle stå för och som i detta fall är helt omedveten, nämligen att kopieringsmaskinens avläsning av böckerna skulle motsvara läsande. Vår akademiker bekänner sig inte till denna föreställning. Likväl kan handlingens effekter, dess funktion, förstås i termer av denna fantasi. Hon känner en stor lust, ett tvång, att kopiera, och kopierandet leder till en lättnad, en befrielse.
2) En person är enormt intresserad av TV, och det finns massor av program som hon bara måste se. Det finns dock inte tid, och hon spelar därför in programmen på video (nja, DVD kanske). Det märkliga är emellertid att det sedan inte heller finns tid att se det som spelats in. Banden läggs på hög och spelas över. Pfaller tolkar detta som att relationen till TV-tittandet är kluven, på samma sätt som akademikerns relation till bokläsande. Det blir befriande att låta videon titta på programmen - så att man själv får tid till annat.

I dessa två fall skulle det förbjudna vara att "inte läsa", respektive att "inte se på TV". Det är viktigt att poängtera att det varken är något sjukt eller speciellt dåligt med denna typ av "lösning" på de problem som de respektive förbuden - eller kanske mer exakt hat-kärleks-relationerna - utgör. Lösningarna är relativt oproblematiska, och kan ses som livsbejakande: man spelar in sina TV-program, drar sina kopior, fördjupar sig inte mer i det, och ägnar sig sedan åt något annat, något man har lust att göra.

Den bekännande tro som saknas i båda dessa fall spelar en viktig roll då det gäller skolmatematik. Helt i linje med Pfallers resonemang tycks matematiken nämligen generera en plikt och göra handlingen till en handling som bara kan utföras som ett lidande och "med sammanbitna tänder". Matematiken gör skolmatematiken till en plåga som vi, trots allt, måste underkasta oss. Dvs. vi tycker i själva verket inte om skolmatematiken, som regel njuter vi föga av att delta i den - varken som elev, lärare eller på något annat sätt, men genom vår tro på matematiken "inser" vi dess nödvändighet. Vi kan säga: tyvärr tar skolmatematiken mycket tid i anspråk, tyvärr är den en plåga för många, men likväl: alla behöver kunskaper i matematik!

Pfaller knyter bekännelseobjektet till vad Freud kallar idealjag och vad den slovenske filosofen Slavoj Zizek (med Lacan) kallar imaginär identifikation. Bekännelseobjektet ställs upp som ett ideal, som något man idealiserar, som något man identifierar sig med. Han knyter det också till narcissism.

Vi njuter av att "inse" matematikens egenskaper. Matematiken genererar en plikt, som vi "med sammanbitna tänder" kan utvinna narcissistisk njutning i att underkasta oss.

Man kan till exempel säga: "Jag kan väldigt lite matematik, och matematiklektionerna var en plåga - men jag vet likväl att matematik är något mycket viktigt, att den behövs", och i detta njuta av att man trots sitt lidande håller fast vid sin bekännande tro på matematiken.

Pfaller skriver:

Das Bekenntnis ermöglicht ihnen die narzißtische Befriedigung der Selbstachtung: Sich in Übereinstimmung mit dem reklamierten Bekenntnis zu wissen oder sich wenigstens darin wähnen, bedeutet einen narzißtischen Triumph. (p 68)

Pfaller menar att vi, när vi underkastar oss vår bekännande tro, upplever att vi håller fast vid ett värdefullt ideal och motstår "frestelser". Vi tror att vi står upp för vår autonomi. Men sanningen är den motsatta:

Je weniger ein Subjekt aus der Notwendigkeit seiner eigenen Natur handelt, desto verbissener hält es an der Illusion der Selbstbestimmtheit fest und verfolgt seine Heteronomie, nur om ja ze ”beweisen”, daß sie keine ist. (p 245)

4. Behovet av reformer
=======================
Skolmatematiken framträder i matematikens ljus, som den institution genom vilken matematiken skall realiseras. Det är dock uppenbart att den misslyckas med detta. Hur är det, mot bakgrund av detta uppenbara misslyckande, möjligt (för det moderna sunda förnuftet) att fortsätta förstå skolmatematiken som ett realiserande av matematikens ideal?

Den lösning som Pfaller (med Freud) talar om är en mer eller mindre konstant strävan att reformera. Om man historiskt ser bekännelseobjektet som något som vid en viss tidpunkt introduceras, leder alltid detta till en viss "reformskjuss" som hänger samman med en viss ritualfientlighet.

Bekännelseobjektet gör med andra ord två saker med ersättningshandlingen:
1) Den får den att framstå som meningsfull, eftersom den hänger samman med och framstår som en (i och för sig misslyckad) realisering av objektets egenskaper. För skolmatematikens del innebär detta att den tolkas som den institution som skall bibringa människor de matematiska kunskaper de behöver. Detta kan jämföras med när folkundervisning på tex 1830-talet istället hade långt mer blygsamma ambitioner.

2) Den får den att framstå som väsentligen misslyckad och i behov av genomgripande reformer. Den "motsvarar" bekännelseobjektet bara som i det närmaste objektets motsats, vilket leder till en stark olust, en fientlighet, till handlingen. Intressant nog består likväl kopplingen till bekännelseobjektet och jag skall försöka förklara mekanismerna bakom detta i det följande.

Pfaller skriver:

Mit der Gesinnung ist im Prozeß der fortgesetzen Verschiebung ein qualitativ neues Element aufgetreten. Der scheinbare Unsinn der zwanghaften Verrichtungen scheint schlagartig einem Sinn gewichen zu sein. Die den immer läppischer werdenden Ritualen innewohnende Verachtung ist nun in Achtung (vor dem Sinn) umgeschlagen. (p 158)

Pfaller talar i detta sammanhang om ”självförnöjsamhet” (p 158), något som passar ganska bra för skolmatematikens företrädare: de vet mycket väl hur illa ställt det är med skolmatematiken, men berörs inte nämnvärt, eftersom det inte är den det handlar om. Målet är praktiker som helt svarar mot en egna övertygelsen. Men - och detta visar sig genom historien - praktiker får alltid en annan och mer mening än de har avsett som skapat dem.

I sättet att tala om skolmatematiken finns en ofta ganska direkt fientlighet, för att inte säga ett hat, riktat mot institutionen, det praktiska, handlingen, det faktiskt närvarande, aktualiteten.

Precis på samma sätt som Foucault beskrivit angående fängelsesystemet, kan skolmatematikens historia under de senaste 150 åren ses som en lång rad alltid lika fruktlösa reformförsök.

5. Framträdelsen och dess motsats
==================================
Man kan även se att skolmatematiken får bära bördan att förklara varför det ideal som matematiken representerar inte realiseras. Dvs, enligt en logik som kan tyckas besynnerlig: skolmatematiken - den institution som bär ansvaret att realisera matematikens potential - framstår då man talar om den, som orsaken till att matematikens ideal ännu inte är realiserade. Å ena sidan är det genom skolmatematiken som matematikens ideal skall realiseras. Skolmatematiken misslyckas med detta. Men detta tillstånd av icke-matematik upplevs inte som neutralt, utan som om skolmatematiken aktivt hindrade matematikens ideal från att realiseras, det vill säga som om matematiken bar på en potential som skulle realiseras om det inte vore för att skolmatematiken hela tiden förhindrade detta.

Logiken stämmer med de effekter Pfaller förklarar att ett bekännelseobjekt kan få på hur en ersättningshandling framträder. Objektet kan nämligen få handlingen att framträda som sin egen motsats. Några exempel på denna logik är när krig förs i Guds namn, och människor dödas i en kamp för kärlek och liv. Pfaller nämner abortmotståndare som mördar läkare, i livets namn. Djurrättsaktivister som släpper ut minkar mot en säker död tycks falla inom ramarna för denna logik.

Det besynnerliga med skolmatematiken är alltså att den å ena sidan, de facto, av alla, med hat, betraktas som en regelrätt plåga, ett misslyckande, en institution i skriande behov av reformering, som leder till segregering och ger många elever dåligt självförtroende. Likväl framstår den som en institution vars högre syfte, och som till sin "essens", handlar om något helt annat, fullständigt motsatt detta, nämligen allt det som förknippas med matematik: användbarhet, kreativitet, självförtroende, och så vidare.

Och igen vill jag påminna om att jag inte tänker mig att matematiken är något givet som bestämmer skolmatematikens framträdelse, utan att matematiken i egenskap av bekännelseobjekt får sina egenskaper genom mekanismer som inte kan skiljas från skolmatematiken.

6. Den genomskådade fantasin
=============================
Skolmatematiken tycks samtidigt framträda på två motsatta sätt: å ena sidan som en plåga och ett hinder, å den andra som den instans som skall och bör realisera det goda som förknippas med matematiken. En central roll i detta fenomen spelar vad Pfaller kallar "vidskeplig tro" eller "genomskådade fantasier". Pfaller använder de tyska orden "einbildung", "aberglaube" och "illusionen". Jag kommer att tala om genomskådade föreställningar, genomskådade fantasier och om vidskeplighet.

Genomskådade föreställningar får här (med Pfaller) sin innebörd i kontrast mot bekännande tro, eller föreställningar man bekänner sig till.

Skolmatematiken hänger samman med en bekännande tro på matematiken, men den hänger även samman med en viss genomskådad fantasi. Denna fantasi befinner sig till synes mellan skolmatematiken som föremål för hat och fientlighet, och matematiken i egenskap av idealiserat objekt.

Att förstå den genomskådade fantasin logik är, tror jag, en nyckel för att förstå skolmatematikens plats i det moderna.

Skolmatematikens genomskådade fantasi är att den skolmatematiska praktiken, sådan den de facto är, är meningsfull och knyter an till verkligheten utanför skolan.

Denna föreställning (eller fantasi) framträder diskursivt på en mängd olika sätt, men till exempel i tal om "traditionella undervisningsmetoder". Karaktäristiskt för dessa metoder är att ingen av de som talar om dem, själv står för dem. Det är alltid andra som använder och försvarar dem: metodiker från förr, lärare som inte hängt med, trångsynta föräldrar och elever månne.

Till denna genre hör även kritik av "orealistiska räkneuppgifter", den typ av små problem som läroböcker innehåller: fragment av verkligheten sammanfogade enligt den elementära matematikens principer till en lagom munsbit för elever på olika stadier i sin väg mot skolmatematisk expertis. Ingen tror att dessa uppgifter på ett meningsfullt sätt svarar mot hur verkligheten är eller hur den kan bemästras.

Hit hör även kritik av betyg i allmänhet och provresultat i synnerhet, som aldrig i praktiken, de facto, svarar mot det som man egentligen vill mäta, de matematiska kunskaperna, problemlösningsförmågan, kreativiteten och vad det vara månde.

Fantasin, som ingen tror på, är att undervisningen, sådan den faktiskt är ("traditionell") är meningsfull, att praktiken handlar om verkligheten utanför skolan, och att prov och betyg motsvarar en grad av bemästrande av matematiken, objektet vi bekänner oss till.

Det märkliga, och som stämmer med det Pfaller säger om genomskådade fantasier, är att vi i många avseenden förhåller oss till skolmatematiken som om dessa fantasier vore sanna - trots att vi inte själva tror på dem och står för dem. Vi betraktar skolmatematiken som enormt viktig och nödvändig, och ser det som en plikt att ta del av den och låta våra barn ta del av den, trots att vi vet att den inte är det den påstås vara, och samtidigt som vi kräver genomgripande reformer.

Skolmatematiken utövar att tvingande krav - och vad gäller hörsammandet av detta krav kan man bokstavligen tala om dubbla känslor. Det moderna samhället, dess sunda förnuft och doxa, är djupt kluvet inför skolmatematiken. Ambivalent. Och enligt Pfaller (med Freud och Lacan) hänger ambivalens intimt samman med tvångsmässighet. Den grundläggande mekanismen är, enligt Pfaller, att två motstridiga impulser förenas i ersättningshandlingen: å ena sidan den lust som är förknippad med det som måste undvikas - i det här fallet den kraft som ligger i behovet av disciplinering och utestängning, även om man här kanske inte skall tala om njutning och lust - och å den andra lusten att förhindra just detta, att göra motsatsen till detta, att verka för att hjälpa de svaga, stärka demokratin, osv. Skolmatematiken utgör en kompromissbildning som där båda dessa motsatta mål förenas, och tvånget att "utföra den", det vill säga den kraft med vilken skolmatematiken är låst till en viss plats i det moderna samhällets "symboliska struktur" är därför enorm.

En intrikat och central mekanism ligger i själva genomskådandet. Pfaller skriver:

Unbestimmten anderen eine Illusion zu bieten und ihr selbst ze entgehen, ist offenbar eine beträchtliche Lustquelle. (p 45)

Det ligger med andra ord en njutning och tillfredställelse i själva det faktum att vi ställer oss utanför det plågsamma maskineri som skolmatematiken i praktiken utgör. Vi "inser" att detta inte är något gott. Vi ställer oss, kan man säga, på matematikens sida.

Den genomskådade fantasin och tron vi bekänner oss till skapar en möjlighet till ställningstagande, där vi utvinner njutning av att välja "rätt sida". Men detta ställningstagande vore inte möjligt enbart i ljuset av den "rätta" sidan - även dess motsats behövs. Vi älskar att upprepa för oss själva och andra hur fel vi inser och vet att det genomskådade är. Poängen är, för det första, att vi därmed bidrar till att hålla denna fantasi levande, och för det andra, att det bara är genom exakt denna mekanism som fantasin upprätthålls.

7. Spelets heliga allvar
=========================
Om nu detta är hur skolmatematiken framträder så att säga från utsidan, när man tänker på den och talar om den - hur är det att delta i den skolmatematiska praktiken? Pfaller talar om själva praktiken, utförandet av ersättningshandlingar, i termer av Johan Huizingas term "heligt allvar".

Idén är att spel och lek (tyskans "spiel") hänger samman med ett förhöjt allvar och förstärkta känslor - allvar och känslor starkare än de som upplevs och kan upplevas i den "verkliga" verkligheten, i den verklighet som "tas på allvar". Att det ligger något i detta kan lätt observeras, till exempel i hur fotbollsfans förhåller sig till sina fotbollslag, eller i hur det känns att faktiskt spela ett spel (tex fotboll) "på allvar". Vad Pfaller gör är att förklara mekanismerna bakom detta förhöjda allvar genom sina resonemang kring ambivalens, genomskådade fantasier och ersättningshandlingar.

Vad gäller skolmatematiken vill jag med hänvisningen till termen "heligt allvar" bara peka på en viktig egenskap hos den skolmatematiska praktiken (och skolans många praktiker i allmänhet), nämligen deras allvar. Ivan Illich skriver angående detta:

Classroom attendance removes children from the everyday world of Western culture and
plunges them into an environment far more primitive, magical, and deadly serious.
School could not create such an enclave within which the rules of ordinary reality are suspended, unless it physically incarcerated the young during many successive years on sacred territory. The attendance rule makes it possible for the schoolroom to serve as a magic womb, from which the child is delivered periodically at the school days and school year's completion until he is finally expelled into adult life. (Deschooling Society, p. 25)

Skolan, det moderna utbildningssystemets inre, är med andra ord enligt Illich en värld långt mer allvarlig och ödesdiger än det samhälle skolan syftar till att förbereda eleverna för. Idén om lekens heliga allvar stämmer väl med Illich observation.

Skolmatematiken passar väl in på antropologen Roy Rappaports definition av en ritual (i Ritual and Religion in the Making of Humanity, 1999):
1) Vad som sker är bestämt på förhand av andra än de som handlar. Här kan vi tänka både på kurs- och läroplaner och på alla de instruktioner som finns inbakade i läromedel och metodhandledningar, men också på allt det som traderas oartikulerat genom lärarutbildning och ute på skolorna - understött av skolornas arkitektoniska utformning, adminstrativa system osv.
2) Vad som sker är relativt invariant, dvs konstant i tid och rum. Enorma ansträngningar har gjorts och görs kontinuerligt för att upprättahålla en sådan konstans. Man kunde tänka sig att de många reformerna skulle ha lett till att praktiken förändrats över tid, men någon sådan förändring har reformerna inte lett till - vilket också är en central komponent i det resonemang som förs här.
3. Verksamheten präglas av formalitet, den sker på särskilda tidpunkter och på särskilda platser, den är ofta repetitiv. Stor omsorg ägnas åt att det som sker sker på rätt sätt.
4. Det som som sker är verkligen något som sker och ageras - dvs skolmatematiken är inte fråga om något som bara finns nedskrivet i en bok eller en manual.
5. Slutligen inkluderar Rappaport i sin definition kriteriet att verksamheten inte är "instrumentellt effektiv", dvs Rappaport räknar inte in handlingar som syftar till, och även realiserar, uppnåendet av ett visst påtagligt konkret specifikt mål. Skolmatematiken uppfyller även detta krav, genom den komplicerade relationen mellan dess högre bestämmelse och insisterandet på att skolmatematiken inte lever upp till denna bestämmelse.

Skolmatematiken är formaliserad och repetitiv. Man kan här tänka på utformningen av vanliga läroböcker i matematik: de är fyllda av hundratals uppgifter att lösa, var och en med ett entydigt svar. Uppgifterna utförs, ofta under tystnad (visst: ibland får eleverna arbeta tillsammans), en lösning föreslås och korrigeras om nödvändigt i jämförelse med facit. Detta "övande" avbryts då och då av "prov", då den expertis man övat upp att delta i denna praktik prövas - något man talar om i termer av att "mäta kunskaper".

Vad jag vill peka på är, som sagt, allvaret i dessa prövningar, ett allvar som inte på något sätt kan reduceras till en subjektiv upplevelse. Tvärtom får dessa formella, i tid och rum avgränsade, prestationer livsavgörande konsekvenser och detta faktum avspeglas i alla de mer eller mindre strikt reglerade handlingar som omgärdar själva prövningarna. Proven omgärdas av "heligt allvar", och enligt Pfaller hänger detta allvar samman med en "genomskådad fantasi", nämligen - menar jag - skolmatematikens grundläggande genomskådade fantasi av att motsvara verkligheten. Det vill säga: proven utförs "som om" det som mättes var "kunskaper i matematik", kunskaper som bildats genom de många timmarnas övande, där en större kvantitet svarar mot ett bättre provresultat, och en större kvantitet svarar mot en större förmåga att hantera "vardag och yrkesliv".

Väsentligt är här hur allvaret, vår benägenhet att fylla praktiken med allvar, och praktikens öppenhet för att så att säga "laddas" med sådant allvar, hänger samman med en viss upplevelse av undantag, ett visst "sättande inom parentes" som hänger samman med själva genomskådandet. I den mån någon skulle säga att allvaret är "för stort", så är detta på förhand assimilerat i det grundläggande hatet mot skolan och kan besvaras: "Självklart är allvaret för stort!" I den mån någon säger att proven inte mäter "riktiga kunskaper" är svaret detsamma: "Nej, sannerligen är det fördjävligt. Proven är ju meningslösa!"

Intressant är här hur två fantasier är verksamma som så att säga tar ut varandra. Å ena sidan den genomskådade fantasin som säger att skolan "inte bara är skola", det vill säga fantasin om hur matematiken gör att skolan handlar om verkligheten, om hur skolan genererar "kunskaper i matematik", dvs något som alla är överens om att skolmatematiken gör i högst begränsad utsträckning. Å den andra bidrar detta genomskådande till att göra skolan till "bara skola", vilket innebär att den - trots att den från insidan präglas av ett allvar större än det verkliga livets - som praktik inte tas på allvar på samma sätt som det allvarliga och väsentliga. På ett sätt som motsvarar den respekt man alltid visar mot matematiken, ser man på skolan med förakt och ointresse. Den måste reformeras, javisst! Men man låter gärna någon annan göra jobbet.

8. Handlandets magiska effekter
================================
I vilken mening finns det en "tro" på de fantasier som i övrigt är genomskådade? Beviset, om man får kalla det så, för att det finns en tro på de genomskådande fantasierna är att skolmatematikens får effekter som om fantasierna vore sanna.

Vår relation till skolmatematiken är, som jag beskrivit ovan, komplicerad. Relativt enkelt är det likväl att konstatera att betyg - i synnerhet betyg i matematik - spelar en viktig roll för att reglera människors karriärvägar, och att denna funktion sällan, om någonsin, är föremål för kritik. Trots all den kritik som riktas mot processen, undervisningsmetoderna, mätningsmetoderna, så står slutresultatet säkert.

När vi förhåller oss till "betyg i matematik" är det som om dessa vore mått på "kunskaper i matematik" - oberoende av hur påtagligt medvetna vi är om att skolmatematiken de facto inte leder till sådana kunskaper.

Vad Pfaller påpekar angående detta fenomen är att det inte heller är möjligt för oss att så att säga "välja" om vi skall tro på skolmatematikens effekter eller inte. Pfaller exemplifierar i detta sammanhang med ett troligtvis ganska vanligt fenomen, nämligen hur vi, om vill till exempel är försenade eller i sista stund måste avboka något, kan känna skuld, trots att orsaken till att vi är sena eller inte kan komma är helt legitima. Det vill säga: trots att vi mycket väl vet att vi inte har någon anledning att känna skuld, och trots att de övriga deltagarna i arrangemanget förstår och inte skuldbelägger oss, så känner vi likväl skuld. Skulden tycks uppstå "mekaniskt" som en följd av vissa objektiva omständigheter. Det är denna mekanism som Pfaller är ute efter att förstå.

Pfaller tar som ett annat exempel upp effekten av att tvingas leka en lek eller spela ett spel. Antag att vi av någon tvingades att göra en eller en annan av våra nära vänner illa. Själva valet genererar, menar Pfaller, i detta fall en skuld - trots att både vi själva, den som tvingar oss, och den som drabbas, vet att vi handlat under tvång.

Pfaller tar i detta sammanhang upp hur artighet och hövlighet kan utöva en tvingande kraft på oss. Om vi möter en chef som vi inte respekterar kan det hända att vi likväl (skriver Pfaller) känner oss bundna till artighetens konventioner - och det viktiga i med exemplet är att detta också kan få reella konsekvenser, det objektiva handlandet förändrar relationen mellan de som utför handlingen - vår fiendskap minskar.

Hit hör även det faktum trolleriformler måste sägas högt. Man kan inte trolla genom blotta tanken. Det är som om trollkonsterna måste utföras för en någon som tittar och lyssnar.

För att förklara bland annat dessa fenomen inför Pfaller i sitt resonemang vad han kallar "den naive betraktaren". Detta är en "psykosocial" instans (min term, inte Pfallers) som reglerar handlingars effekter. Pfallers "naive betraktare" motsvarar mer eller mindre exakt Lacans "store Andre".

Det är den naive betraktaren som ger oss skuldkänslor när vi kommer för sent, för dels ser han att vi är sena, men tyvärr är han för korkad för att förstå den lite komplicerade orsaken till att vi är sena. Det är den naive betraktaren som ger oss skuld när vi handlar under tvång - för han förstår inte att vi är tvingade. Den naive betraktaren tror givetvis på traditionella undervisningsmetoder, han tror att prov mäter kunskaper, att skolans övningar motsvarar verkligheten och så vidare. Det är den naive betraktaren som verkställer magiska effekter - och, som är välkänt, han gör det ofta utifrån en bokstavlig och möjligen ganska korkad tolkning av det som sägs och görs, helt oberoende av den trollandes intentioner. Det är den naive betraktaren som tror att en kopiator kan läsa och likställer videons inspelning med TV-tittande.

Ett exempel som både Pfaller och Zizek tycker om rör "burkskrattets" effekter på den TV-tittandes upplevelse. Komediserier på TV innehåller nästan alltid inspelat skratt, och att detta arrangemang fått sådan utbredning beror med största sannolikhet på att det "fungerar". De som tittar njuter med av det roliga om de hör andra skratta, även om de är fullt medvetna om att skrattet är inspelat och pålagt i efterhand. Idén om den naive betraktaren kan sprida ljus över detta. Den naive betraktaren ser oss sitta där och titta på TV, och han hör skrattet - men förstår inte att det inte är vi som skrattar. Efter hans förstånd så har vi därför haft det väldigt trevligt, mycket trevligare än om vi suttit där och tittat i tystnad. Vi upplever med andra ord vårt eget TV-tittande utifrån den naive betraktarens perspektiv.

Två saker är viktiga här. För det första att den naive betraktaren är just naiv, och en betraktare, det vill säga att han utgår från det han ser och hör och tolkar det bokstavligt. För honom är med andra ord skolmatematiken just det som vi andra genomskådar och ser att den faktiskt inte är. För det andra är vi underställda denne betraktares omdöme. Vi ser oss själva genom hans ögon.

Man kan fråga sig i vilken mån denne naive betraktare finns. Som jag ser det är denna instans en användbar nyckel för att förstå en mängd fenomen. Hans existens visar sig så att att säga i sina effekter. Bitar faller på plats när man ser att saker sker "som om" denne naive betraktare existerade.

Det är i den naive betraktarens ögon som betyg likställs med kunskapsmått och i förlängningen utgör legitima mått på människors värde. Ingen behöver bekänna sig till denna föreställning, det räcker att den naive betraktaren tror för att vi skall vara tvungna att underkasta oss föreställningens konsekvenser.

Man kan här närma sig en förståelse av hur skolmatematiken verkar som en ideologisk statsapparat. Den är ett spel som vi tvingas spela, som genererar effekter, meningseffekter, som vi - oberoende om vi tror på dem eller inte - är bundna att underkasta oss.

En fråga som väckts under mitt arbete med skolmatematiken är vem det är som är den tilltänkta läsaren till den mängd texter som skrivs på temat: skolmatematiken måste förändras, och detta är vad vi kan uppnå om vi bara gör matematiken rättvisa.

Mot bakgrund av det ovanstående är det självklara svaret: för den naive betraktaren. Men man kan säga mer än så om dessa texter. Det verkar troligt att de fyller en viktig funktion i förhållande till matematikens moraliska förpliktelse. De är, kan man säga, en form av botgöring: de återkommande satsningarna, den långa raden av utredningar och rapporter, är offer på matematikens altare: genom dem demonstrerar vi (våra politiker) vår tro på matematiken.

Det tycks emellertid inte långsökt att i detta även läsa in ersättningshandlingens logik. Satsningarna är ett sätt att slippa att på egen hand ta sig an matematiken. För vad vet man om matematik? Och vad tycker man egentligen om den? Älskar man den? Hatar man den kanske? Är man likgiltig? Det spelar ingen roll: i offentlighetens ljus är man tvungen att demonstrera sin tro.

Med andra ord är det inte bara skolan som är ett liksom självgående maskineri, utan även de institutioner som producerar "tolkningen" av denna maskin, de som om och om igen uttrycker kravet på förändring, som om och om igen uttrycker - i tryckta publikationer - att vi inte är nöjda med hur det är, som förklarar att vi så gott vi kan försöker att förändra. Allt detta sker för den naive betraktaren, för att befria oss från skuld. Ytterst få verkliga personer läser dessa rapporter. Den enda väsentliga läsaren är den naive betraktaren (vad Lacan kallar den store Andre). Det är genom hans "läsning" som rapporterna fyller sin samhälleliga funktion.


9. Imaginär och symbolisk identifikation
=========================================
Zizek skiljer (med Lacan) mellan imaginär och symbolisk identifikation. Imaginär identifikation är identifikation med något eller någon som vi vill likna, någon som vi idealiserar, en fantasi. Den imaginära identifikationen hänger samman med vad Freud kallar idealjag, en bild av hur vi tycker att vi borde vara, som vi strävar efter och som vi jämför oss själva med. Att bekänna sig till matematiken är att knyta den till sitt idealjag och identifiera sig med den imaginärt.

Man kan säga att hela det moderna samhället ställer upp matematiken som ett gemensamt imaginärt ideal. Det moderna samhället tecknar en bild av hur det vill vara, och hur det tror att det borde vara, genom matematiken. Det ser matematiken som en nyckel till förbättring. Detta gäller även på ett individuellt plan: de matematiska kunskaperna innefattar en bild av en ideal medborgare; av ett idealt modernt subjekt. Skolmatematikens kunskapsmått får sin mening i förhållande till detta ideal.

Skolmatematiken formar sina deltagare att knyta sin subjektivitet till detta ideal. Konsekvensen blir inte bara i praktiken olycklig, utan enligt Pfaller även olycklig i princip. Han menar att den imaginära identifikationen hänger samman med bekännande tro, att den är en "inbillning" i den bemärkelsen att man är "inbilsk" och inbillar sig att man "är någon". Den hänger samman med en önskan att vara något bättre än man redan är, och som drivkraft för handling hänger denna önskan samman med plikt, askes och narcissism.

På ett samhälleligt plan inbillar sig det moderna samhället, genom matematiken, att det kan vara något mycket mer och mycket finare än det är, och underkastar sig - i ett pliktskyldigt försök att leva upp till detta ideal - all den plåga som skolmatematiken innebär. Med sammanbitna tänder gör vi ytterligare att försök att reformera.

På ett individuellt plan är vi, trots att vi tyckte matematiken var en plåga i skolan, trots att vi vet ett dyft om vetenskap, stolta över att "inse" att kunskaper i matematik är något mycket viktigt.

Denna imaginära identifikation kontrasterar Pfaller (med Zizek och Lacan) med symbolisk identifikation. Zizek beskriver hur denna identifikation handlar om den position varifrån den imaginära identifikationen får sin mening. Den symboliska identifikationen besvarar frågan: För vem vill vi vara detta, som vi identifierar oss med imaginärt? Vem är det som vi (omedvetet) tror oss vara betraktade av, när vi njuter av att stå för det vi bekänner oss till?

En banal användning av denna tankefigur vore att säga att kvinnor på ett imaginärt plan kanske vill vara vackra, och att de på ett symboliskt plan därmed identifierar sig med mannens blick. Man vill vara en vacker kvinna, för att det är sådana kvinnor som män tycker om - i synnerhet kanske just en viss typ av män, de män som är föremål för den symboliska identifikationen.

I Pfallers resonemang är det de genomskådande fantasierna som står på det symboliskas sida. Dessa fantasier "är" i någon mening det symboliska, och de är detta i kraft av att den naive betraktarens tro.

Vår imaginära identifikation med matematiken hänger med andra ord samman med en symbolisk identifikation med den naive betraktare som tror på skolmatematikens (för alla andra) genomskådade fantasi.

Poängen med min hänvisning till Roy Rappaport och hans definition av en ritual, är att skolmatematiken därigenom kan förstås som den instans som skapar och "undervisar" den naive betraktaren.

10. Kanoniskt och självrefererande budskap
===========================================
Låt mig för att förklara denna aspekt av skolmatematiken återknyta till Roy Rappaports ritualteori.

Rappaport menar att ritualer, definierade enligt ovan (fem kriterier), innehåller två komplementära sorters "budskap". Han kallar dem det kanoniska, respektive det självrefererande budskapet.

Det självrefererande budskapet handlar om de som utför ritualen. Ritualer är sällan, skriver Rappaport, helt invarianta. Tvärtom innefattar de (den typ av ritualer som Rappaport diskuterar, bör man kanske precisera) som regel en viss typ av formaliserad variation, en uppdelning i roller inom ritualens ramar, som får konsekvenser även utanför ritualens ordning, för de som utför ritualen. Dessa konsekvenser är det självrefererande budskapet.

Det kanoniska budskapet bärs å andra sidan upp av de som är invariant i ritualens utförande. Pfaller skriver:

Whereas the referents of self-referential messages, i.e., the current physical, psychic or social states of individual participants, or of the body of participants as a whole, are confined to the here and now, the significata of the canonical are never so confined. They always include […] orders, processes or entities, material, social, abstract, ideal or spiritual, the existence or putative existence of which transcends the present. (p 53)

[t]he canonical stream is carried by the invariant aspects or components of these orders, [whereas] self-referential information is conveyed by whatever variation the liturgical order allows or demands. (p 54)

Angående ritualens kanoniska budskap talar Rappaport om "Ultimate Sacred Postulates", vilka i skolmatematikens fall tycks motsvaras av mycket allmänna påståenden rörande det goda som skolmatematiken, genom matematiken, borde kunna led till. Rappaport skriver att

[...] they are generally devoid, or close to devoid, of material significata. They are, therefore, invulnerable to falsification by reference to evidence naturally available in this world. (p 280) […] material evidence can never falsify Ultimate Sacred Postulates if all, or even some, of their key terms are non-material, as they seem always to be. (p 280).

Rappaport menar att vi, genom att utföra ritualen, gör dessa postulat "verkliga" så till vida att vi accepterar dem som en del av den verkligheten. Nyckeltermen här är "acceptans", som Rappaport är noga med att skilja från "tro". Rappaport menar att utförarna (the performers) smälter samman med ritualens budskap när de utför det, och eftersom detta är fallet:

for performers to reject liturgical orders being realized by their own participation in them as they are participating in them is self-contradictory, and thus impossible. Therefore, by performing a liturgical order the participants accept, and indicate to themselves and to others that they accept whatever is encoded in the canon of that order. (p 119)

The self-referential and the canonical are united in the acceptance of the canon. Acceptance is the self-referencial message intrinsic to all liturgical performances […] (p 119)

Angående det självrefererande budskapet påpekar Rappaport att

[…] information concerning the current state of transmtters, being confined to the here and now, may transcend mere symbolic signification and be represented indexically. (p 54)

Intessant nog är detta exakt vad som sker då en elev genomför ett matteprov. Resultatet indikerar, indexerar, elevens status inom ritualens ramar. Den pekar på en egenskap hos eleven, visar upp den, synliggör den. Resultatet framträder som en ”översättning” av ett inre tillstånd (inte som ett skapande av detta tillstånd, eller som något som eleven ”betyder”).

Det abstrakta, icke-materiella, får genom ritualen kan ges en materiell representation som gör det mer påtagligt. Dvs människors subjektsposition, i den mån de tilldelas med hänvisning till en abstrakt matematik, behöver göras materiell, vilket sker genom matteprovens indexikalitet, deras praktiska materialitet. Mer Rappaports ord:

[In rituals] incorporeal qualities, in their nature only vageuly metrical and certainly not numerable, are given a form that is not only mateiral but clearly metrical, like number of pigs, coppers, and copper plaques [and can add, points in test of mathematical knowledge]. (p 86).

Rappaport och Pfaller hör till två helt skiljda forskningstraditioner. Likväl tycks deras respektive observationer och slutsatser stämma överens på ett nästan förbluffande sätt.

Omtolkad i Pfallers terminologi kan man säga att vi, genom att acceptera en ritual, oavsett om vi "tror" på den eller inte utan genom vår blotta handling, lär eller informerar den naive andre om hur världen är uppbyggd, hur vårt samhälle är strukturerat och vilken position vi själva intar i detta kosmos. Ritualen fyller därmed en dubbel funktion, något Rappaport också påpekar:

Liturgical performance not only recognizes the authority of the conventions it represents, it gives them their very existence. (p 125)

Participants enliven the order that they are performing with the enery of their own bodies, and their own voices make it articulate. They thereby establish the existence of that order in this world of matter and energy; they substantiate the order as it informs them. (p 125)

Ritualen skapar den ordning som den får sin mening från. Vad det handlar om är givetvis vad man brukar tala om som "naturalisering", "reifiering" eller "hypostatisering", och brukar avslöja genom konstaterandet att världen är "socialt konstruerad". Jag hoppas dock det framgår att både Pfaller och Rappaport säger betydligt mer än så.

11. Skolmatematikens etik och moral
====================================
Pfaller knyter i slutet av sin bok an till en distinktion som Gilles Deleuze gör i sin bok om Spinoza, mellan immanent etik och transcendent moral. Inte minst eftersom Spinozas immanensetik är så tätt sammanvävd med en matematiserad, mekanistisk världsbild, är det lockande att se även vad denna distinktion skulle innebära i fråga om skolmatematiken.

Karaktäristiskt för den immanenta etiken är att den inte handlar om gott och ont, utan om bra och dåligt, starkt och svagt. Om man inom ramarna för denna etik gör något som är dåligt, så följer automatiskt negativa konsekvenser. Naturen själv är modell för detta sätt att tänka: ett träd som lyckas slå rot och växa sig högt är inte "gott" - det är snarare "bra". På ett motsvarande sätt kan man tänka om en framgångsrik affärsman; givet marknadens immanenta etik är hon "bra". Om hon är god eller ond är en annan fråga.

Moral, däremot, är enligt detta tänkesätt en fråga om gott och ont, och den utgår från ideal och regler som handlingar jämförs med och värderas i förhållande till. Moralen är inte förknippad med automatiska mekanismer. Onda handlingar leder istället till skuld, skam och självförebråelser. Goda handlingar leder inte, som i den immanenta etiken, genast till goda effekter, till "ökad styrka", utan snarare till självaktning, självrespekt och kanske även respekt från andra - men möjligen i olyckligare fall istället avundsjuka och missunnsamhet.

Skolmatematiken utgör, konstituerar, reproducerar, en sorts immanensetik. Den är ett system som genererar effekter både i form av "inskriptioner" (Latour) och i form av betydelser och värden. Den som lyckas på att matteprov är inte god, hon är helt enkelt bra (på matematik), den som misslyckas är inte ond utan dålig (på matematik). Bra handlingar, bra resultat, får genast, ofelbart och automatiskt, goda konsekvenser. Inget av detta är beroende av vad någon tror, tänker och tycker. Skall denna mekanism hindras i sitt spel krävs betydligt mer drastiska åtgärder än gnäll och klagomål.

Den matematik skolmatematiken kretsar kring är tvärtom en fråga om moral. Att öppet förkasta matematiken är, i det moderna samhället dumt på ett helt annat sätt än det är dumt att misslyckas på ett matteprov. Den som misslyckas på ett prov förtjänar hjälp att lyckas bättre nästan gång. Den som påstår att provet saknar mening och vill friskriva sig själv från det dåliga resultatets konsekvenser - den kan inte vänta sig något samhälleligt stöd.

I det moderna samhället är det en moralisk plikt att erkänna matematikens värde. Detta är en plikt som hänger samman med plikten att erkänna vetenskapens värde. Matematiken är en av de många gudar man som modern samhällsmedborgare, i vetenskapens namn, har att bekänna sig till.

Med Zizek skulle man kunna säga att den moraliska plikten konstituerar det koordinatsystem inom vilket skolmatematikens immanenta etik kan verka. Denna moraliska plikt liknar i denna bemärkelse plikten att bekänna sig till den demokratiskt reglerade fria marknaden.

12. Skolmatematikens historia
==============================
Folkskolan var öppet ordnande och disciplinerande fram till omkring 1880. Då började det moderna utbildningssystemet ta form.

Inledningsvis spelade "gallring" en central roll i detta system. Matematiken utgjorde det förmodligen främsta "gallringsinstrumentet" och matematiken fick därmed den dubbla funktionen att samtidigt "hjälpa och stjälpa" som jag ovan har beskrivit som karaktäristisk för skolmatematiken.

Situationen idag är emellertid något annorlunda, och den tycks ha förändrats kring 1970. Idag är det nämligen tabu även att tala om skolans "gallrande" funktion.

Förändringen kan följas i sättet att tala om de "utgallrade". Inledningsvis betraktades utgallringen som naturnödvändig, rättvis och god. På 1950-talet började man emellertid att rikta blicken mot de "svagpresterande" eller "lågpresterande" och strax senare "basfärdigheter" och "baskunskaper". Från att syfta till att gallra bort, förändras skolans uppgift till att inte bara också hjälpa de svagaste, utan framför allt till att hjälpa just dessa.

Ett system som per definition utestänger just de som presterar sämst, får alltså till syfte att "hjälpa" just dessa. Man proklamerar att just det som de svaga inte har, är det allra viktigaste för delaktighet i det moderna samhällslivet, mäter och konstaterar att de svaga inte har detta - och menar sedan på att syftet med denna verksamhet är att hjälpa.

Den engelske sociologen Paul Dowling skriver om detta i sin bok The Sociology of Mathematics Education (1998). Han talar om "the myth of participation" som idén att matematik skulle vara en del av det vardagliga samhällslivet, som om matematiska kunskaper var något man behövde helt enkelt för att leva. Givetvis är det inte så, skriver Dowling, men detta är vad skolmatematiken vill göra gällande. Man kan tala om konsekvensen i termer av patologisering, eller med Pfallers terminologi, en systematiskt indoktrinerad imaginär identifikation med ett matematiskt ideal. Identifikationen genererar en viss typ av reflexivt värderande självförståelse, där det man lär sig är att man är i behov av hjälp, att man inte är den man borde vara.