Några utdrag ur diskussionen

Följande textavsnitt är hämtade från: Hög tid för matematik (NCM, 2001), Att lyfta matematiken (Matematikdelegationen, 2004), Bilding och matematik (Lars Mouwitz och Högskoleverket, 2004) och gymnasieskolans kursplan i matematik (2007).

Kunskaper i matematik är oundgängliga för den som vill verka som en aktiv medborgare. Samhällsarkitekter formaterar idag i allt högre grad samhället med hjälp av matematiska modeller och datoriserade strukturer, så behovet av matematisk omdömesförmåga hos den vanlige medborgaren ökar ständigt.

Att tidigt upptäcka och aktivt förhålla sig till starka och svaga sidor i barns och ungdomars kunskapsutveckling i matematik är av mycket stort värde för såväl individen som samhället.

I vardags-, yrkes- och samhällsliv har matematikkunnande visat sig vara en oumbärlig tillgång.

Att lära sig matematik är ett livslångt projekt som börjar redan med spädbarnets lek och prövande.

Att satsa på matematik är också en investering i medborgarskap och demokrati. Matematik är ett av skolans kärnämnen och att ha tilltro till och förmåga att tolka och påverka sin sociala omvärld är oundgängligt för ett aktivt medborgarskap. Många viktiga samhällsfunktioner utformas med hjälp av matematiska modeller och allt fler ekonomiskt komplexa valsituationer hänskjuts till individen. Ett grundläggande matematikkunnande är därför en förutsättning för en reell, och inte bara formell, demokrati.

Matematiken är en förutsättning för stora delar av samhällets utveckling och den genomsyrar hela samhället, ofta på ett sätt som är osynligt för den ovane betraktaren.

Företrädare för utbildning, näringsliv och samhälle ger kraftfullt och enstämmigt uttryck för att matematikkunnande är viktigt och att goda, meningsfulla kunskaper är en förutsättning för självförtroende, demokrati, tillväxt och livslångt lärande. Samlade insatser för en långsiktig, hållbar utveckling av matematikundervisningen i skolan både krävs och välkomnas i alla samhällsgrupper och på alla utbildningsnivåer.

Matematik är intimt förbunden med vår förståelse av världen och med samhällets utveckling och framtidsinriktning.

Att kunna matematik är både tillfredsställande och personligen berikande. Vardagslivet genomsyras allt mer av matematik och teknologi. De som har kunskaper i ämnet får på ett markant sätt ökade möjligheter att aktivt delta som medborgare i det demokratiska samhället. Matematiken har blivit allt mer oundgänglig i yrkesliv och för vidare studier. Att stärka medborgarnas matematiska kompetens har det dubbla syftet att stärka demokrati och bidra till att trygga ekonomiskt välstånd.

Forskningen

Min forskning handlar om samspelet mellan det sociala och det objektiva.
Vid en given tidpunkt kan man se hur omständigheter - samhället - erbjuder identifikationspunkter, undervisningsmål, samtidigt som den sätter ramar, ideologiska, sociala, materiella. Exempel: (1) Urbanisering skapar en koncentration av barn och ungdomar - som kan göras till föremål för skolmatematisk undervisning. (2) Strukturomvandlingar skapar möjligheter för socialt uppåtstigande som etablerade klasser vill begränsa - så det uppstår ett ”behov” av gallring. (3) Sekularisering skapar plats i folkskolan för ett alternativ till katekesen - så skolmatematiken kan breda ut sig. (4) Den matematiska vetenskapen lämpar Euklides bakom sig och ogiltigförklarar skolmatematikens anspråk på att, genom Euklides, förmedla vetenskap, rationalitet och sanning - det uppstår ett sökande efter ett ny grund, en ny utgångspunkt.

Skolmatematiken tenderar att ”översätta” det sociala, tolka det, och baka in det i å ena sidan matematiken och å den andra det förflutna (idag ofta benämnd: traditionen). Med Cornelius Castoriadis kan man tala om skapandet av ett skolmatematiskt socialt imaginärt, skapandet av en ”verklighet”, den verklighet som man har att förhålla sig till. Det är en process av glömska, där man tenderar att uppfatta det skapade som på förhand givet, en process av hetereonomisering.
”Utifrån” kommer mål, som förändras över tid: religiositet, disciplin - manlighet - karaktärsdaning, rationalitet - logiskt tänkande, fantasi - kreativitet - lycka - självförtroende, produktivitet - effektivitet, demokrati - dialogiskt förnuft - empati. Skolmatematiken förklarar då genast att detta, just detta, är matematikens själva kärna - just det som den skolmatematiska undervisningen strax skall leda till. Lika viktigt är emellertid att det utifrån även kommer begränsningar och krav, varav de för dagens skolmatematik allra mest grundläggande är: eleverna måste hållas sysselsatta, eleverna måste sorteras, eleverna måste lära sig respektera matematiken som en Gud. På ett motsvarande sätt som målen förs in i matematiken, framträder dessa begränsningar som sprungna ur matematikens egenskaper: sysselsättningskravet översätts till en teori om lärande, en teori om formande av matematiska begrepp där det är absolut omöjligt, för att inte säga farligt, att tala om för eleverna vad de skall göra, en teori som säger att hemligheterna bakom siffrornas användning i det längsta måste undanhållas eleverna, som säger att man inte kan börja nog tidigt med matematiken - självklart redan i förskolan - som säger att timmarna av övningar är nödvändiga på grund av matematikens natur. Sorteringen får sin grund i en teori om korrespondens mellan tänkandets själva struktur - att vara vuxen och normal - och matematikens väsen, vilket gör det möjligt att upprätta två parallella hierarkier, enligt nedanstående figur:

Hierarki 1: Objektiv Matematik i *verkligheten*. Matematiken är i sig själv hierarkiskt uppbyggd.

Osynligt mellanskikt: - Skolmatematiken. En följd av nivåer, med allt svårare uppgifter, som ställer människans matematiska tänkande inför en matematisk verklighet - i sin skolmatematiska tappning.

Hierarki 2: Matematiken i *människan* (Intelligens). Matematiska begrepp som skänker kapacitet att bemästra världen.

Skolmatematiken upprättar en direkt korrespondens mellan å ena sidan Matematiken och å den andra Människan - och med Latour kan man tala om ett bortseende från mellanrummet, med alltid inadekvata uppgifter som resulterar i prestationer som aldrig motsvarar det man vill mäta. Till det mest fascinerande med skolmatematiken hör hur den skapat en teori om lärande som leder till tro på allt det som skolans matematik sägs vara, framför allt, för att tala med den engelske sociologen och matematikers Paul Dowling: (1) verkligare en verkligheten själv, och (2) alltid användbar. Dowling talar om detta som ”the myth of representation” och ”the myth of participation”, det vill säga: myten som säger att kunskap om matematik är kunskap om verkligheten, och myten som säger att matematiken är en del av nästan all mänsklig social praktik och att matematisk kompetens därför är en förutsättning för att bemästra denna praktik. Skolmatematiken producerar dessa myter genom metodologiska, didaktiska, krav på ”realism” och ”anknytning” till de sammanhang inom vilka matematiken antas (1) finnas och (2) användas. Den skolmatematiska undervisningen blir därigenom lektioner i hur verkligheten är beskaffad, träning i att se verkligheten genom matematiken.

Mer (av samma) om skolans matematik

Skolans matematik är en nodpunkt (i Ernesto Laclaus bemärkelse). Den är ett ord utan egen betydelse, en diamant som kan reflektera allt det som antas vara gott i samhället. Matematiken framstår som ett outgrundligt koncentrat av mening, omöjligt att precisera närmare än att det är just matematik. Det fungerar som ett sammanbindande kitt mellan samhällets olika sfärer: utbildning givetvis, politik och demokrati, teknik och vetenskap, ekonomi och industri. Matematiken är i denna bemärkelse en ”tankestoppare”, en punkt där frågorna upphör bortom vilken det inte finns något meningsfullt att diskutera. Bakom detta hårda blanka skal döljer sig skolmatematiken, och man kan därför tala om denna aspekt av skolans matematik som dess utsida, den sida som vetter från skolmatematiken mot det omgivande samhället. Med matematikens hjälp framställer skolmatematiken sig själv som en spegel i vilken samhället kan se allt det det vill uppnå, det mål dit det vill komma.

Skolans matematik är ett sublimt objekt (i Slavoj Zizeks bemärkelse). Den får en frånvaro att framstå som något dolt. Den pockar på utforskande, med sammansättningar som matematiskt tänkande, matematisk problemlösning, matematisk begreppsbildning och matematisk kreativitet. Vart och ett tycks de förtjäna ett eller flera forskningsprojekt. De framstår som outgrundliga och samtidigt eftersträvandevärda. De hör, kan man säga, till insidan av skolans matematik. I detta inre kryllar det av blänkande diamantskärvor som lärare och didaktiker försöker fånga in och sedan bibringa sina elever. Matematikens insida är vad man ser då man från skolans håll blickar utåt, mot verkligheten utanför skolan. Man ser den filtrerad genom matematiken, man ser en matematisk ton som går igen överallt, matematiken tycks överallt närvarande. Matematikens insida är även vad som fäster den vi de enskilda eleverna. Genom idén om begreppsbildning kan matematiken anta materiell form inuti själva eleverna, som därmed kan bli - mer eller mindre - matematiska. Skolmatematiken ser som sin uppgift att låta matematiken växa i eleverna för att de när de kommer ut skall stå i samklang med en i sig själv matematisk verklighet.

Skolans matematik är till sitt väsen obegriplig. I för hållande till det outgrundliga djup och den enorma mångfald av aspekter man tycker sig skönja i dess inre känner sig de allra flesta - alla troende - otillräckliga. Men denna litenhet är också en källa till trygghet. Man är förvissad om att det här finns något som man inte känner till. Man vet att - men inte hur och inte varför - matematiken är viktig, närvarande, användbar. Matematiken tycks ligga bortom vår horisont, och därför vara mer objektiv, mer naturlig, mer verklig, mer vetenskaplig, än det vardagligt närvarande som vi förstår. Med Zizek kan man tvärtom säga att matematiken - den sanning och kraft vi tillmäter den - befinner sig allt för nära för att vi skall kunna se och förstå den.

Skolans matematik är ett referensobjekt. Det är den fasta punkt runt vilken skolan fördelar det uppväxande släktet. Skolans matematik ger skolans prestationsmätningar mening. Även om det är uppenbart att värdet av en given prestation är helt och hållet socialt bestämt, det vill säga att mätningen uteslutande tjänar till ett upprätta en hierarkisk ordning, lyckas matematiken få oss att betrakta mätningen som en mätning av något som varje uppmät individ har mer eller mindre av. Framför allt framträder därför skolans matematik som en frånvaro, en individuell brist, ett gapande hål - orsaken till segregation och kriminalitet, otillräcklig ekonomisk tillväxt, ångest och dåligt självförtroende, en oförmåga att förstå samhälle, teknik och vetenskap, en oförmåga att hantera det allra mest elementära. Genom skolans matematik skapar skolmatematiken detta i allra högsta grad meningsfyllda tomrum, som endast den själv kan misslyckas med att täppa till. Skolans matematik öppnar en väg för politisk handling som tycks oundviklig: ”satsnigar” på matematik.

Skolans matematik är ett löfte som aldrig infrias. Den tycks ha en inneboende potential att förändra, det fysiska (teknik, vetenskap), sociala (demokrati, ekonomisk tillväxt) och individuella (rationalitet, självförtroende). Potentialen hindras emellertid från att aktualiseras. I samma andetag som skolmatematiken berättar om matematikens bländande glans, förklarar den att skolan - den skola som varit och är - är resultatet av onda krafter, lagbundna sociala processer, missförstånd, ovetenskap och framför allt: tradition - ett förflutet lika väsensskilt från det närvarande nuet som matematikens framtid. I den mån en människa möter matematiken blir utfallet oundvikligen lyckligt. Det eleverna möter i skolan är emellertid inte matematik, utan skolmatematik, får vi reda på - traditionella undervisningsmetoder, förmedlingspedagogik, regler och meningslösa formler - och resultatet blir därefter. Skolmatematiken fixerar på så sätt sin uppgift: att frigöra matematiken. Från vad? Från skolmatematiken. Skolmatematiken är därmed till sitt väsen, som en spegel av matematiken, kluven. Den har en kropp - som den känner men inte vill kännas vid; läromedel, nationella prov, en gallrande funktion, ångest, tristess, cynism. Det är en gammal kropp (hur gammal?), traditionell, vanestyrd, beklaglig. Men så har den också ett förnuft - ett reflekterande medvetande, riktat mot framtiden, driftigt, fyllt av idéer - som tycker sig vara matematik snarare än skola, som visar vägen för alla dem som vill förändra.

Skolmatematiken är organiserad som en kunskapens planekonomi. Det görs planer, som staten försöker verkställa genom standardiserad lärarutbildning, läroplaner, läromedel, nationella prov, inspektioner och utvärdering. Det är allmänt vedertaget att det finns något sådant som kunskaper som endast kan förmedlas av lärare med hjälp av planerad undervisning mot i förväg uppställda för alla individer liknande mål. I motsats till inom det bildningstänkande som fasades ut ur den svenska skolan kring sekelskiftet 1900 är kunskaper alltid kunskaper om något. Medan det går att tala om bildning i allmänhet, och eftersträva detta mål genom så kallad formalbildande undervisning i latin, grekiska eller geometri, strävar man i dagens skola efter tillväxt inom eleverna av olika kunskaper, till exempel i matematik. Det är ämnena som får den planekonomiska organisationen att framstå som oundviklig. Skolans matematik är reifierad, objektifierad, naturaliserad, samhällsstruktur, ett särskilt sätt att organisera social reproduktion. Den har tagit form över tid, genom en process där man kan följa hur sådant som vid en given tidpunkt är något socialt - en till synes god eller nödvändig idé - efter ett par generationer framstår som en nödvändig följd av matematiken själv. Skolans matematik är skolmatematikens minne.

Gapet mellan skolan och matematiken

Som jag ser det finns det inte en universitetsmatematik och en skolmatematik, med ett gap emellan. Istället är det skolan som (tillsammans med andra institutioner) upprätthåller bilden av att det bara finns *en* matematik, att matematiken är *en*, att det finns *något* som är universellt, överallt tillämpbart, osv. Mot bakgrund av denna bild säger skolmatematiken själv, om sig själv, att skolan är något annat än matematiken, att den är tradition, osv.

Poängen är här att gapet kommer före det som "finns" på gapets båda sidor. Gapet gör matematiken till det den är. Gapet är ett gap som skiljer det man föreställer sig att matematiken är *egentligen* från det som *faktiskt* är, den skiljer något som finns blott potentiellt från det som är aktuellt. Matematiken är hel men overklig, skolan är verklig men trasig. Matematiken kan bara vara hel i egenskap av overklig, och det är bara i förhållande till den hela matematiken som skolan framstår som trasig. De två bestämmer varandra ömsesidigt.

Det finns med andra ord ingen potential i matematiken som är möjlig att realisera. Det finns inget där att kunna, inget att veta.

Vad man däremot kan lära sig, är att räkna, lösa andragradsekvationer, bevisa satser, och - inte minst - att använda datorer för att beskriva, förstå, bygga teknik, osv. Detta har dock inget att göra med det jag talar om i min avhandling. Vad jag säger i avhandlingen är på sätt och vis att matematiken - som är skolans matematik - gör oss blinda för världen utanför skolan, den vanställer denna verklighet, den gör den till en avbild av sitt eget skolmässiga sätt att fungera - ett disciplinerande, instängande, förenklat, monotont, rent ut sagt fördummande sätt att fungera, och den gör detta i matematikens namn. Skolmatematiken vet ingenting om världen, den känner bara sig själv. Den påstår sig veta vad verkligheten är, hur samhället fungerar, vad vetenskap är, hur teknik kommer till, vad det innebär att vara kreativ, hur det går till när man löser problem, vad unga människor behöver, hur man deltar i ett demokratiskt samhälle. Den vet ingenting om detta. Skolan är sin egen verklighet, som får oss att tro att detta är den enda verkligheten.

Potentialen, om den finns någonstans, finns i ett spränga sönder matematiken, eller mindre våldsamt - lösa upp den. Och det som måste lösas upp är bara en bild, något imaginärt, en tro. Bara... Om det inte hade varit för det stöd denna tro har i hur samhället fungerar.. Som sagt ser vi varje dag skillnaden mellan matematik och skola förverkligad, materialiserad, i skillnaden mellan det höga och låga *i* samhället, mellan lyckade och misslyckade; matematiken är en av de bilder vi har av skillnadens essens och orsak. Matematiken (bilden) kan inte lösas upp med mindre än att - vi möter denna skillnad på ett annat sätt, utan bilder går kanske inte, men man kan tveklöst tänka sig andra bilder.

Användbarhet och vetenskap

Om nu de anspråk som reses på matematiken är falska, något imaginärt, reifierad socialhistoria - vad är så sanningen om matematiken? Är den inte användbar? Är den inte naturvetenskapens och teknikens sine qua non?

Frågan måste besvaras på två nivåer, en teoretisk och en empirisk.

På en teoretisk nivå måste man notera att matematik, matematiken, är ett sätt att tala, ett sätt att göra ett utsnitt av verkligheten och betrakta en mängd olika fenomen som aspekter av "samma sak". Så är det med alla ord, även de vi upplever som konkreta, tex. ordet "stol". En mängd filosofiska, lingvistiska, pedagogiska, psykologiska resonemang kan föras kring hur orden sammanfattar delar av verkligheten, integrerar den i språket, fyller den med mening, och så vidare.

Vad jag påstår - på denna nivå - är att matematiken, vårt sätt att tala om matematiken, vårt sätt att använda ordet, är speciellt. Det täcker in "för mycket" - för många olika fenomen, det bär på för mycket mening, för mycket värde, som vi - samhället - drar för stora växlar på, osv.

Inte desto mindre är det uppenbart att matematiken täcker in många intressanta och viktiga fenomen. Hit hör till exempel det forskare inom teoretisk fysik ägnar sig åt. Utan tvekan skulle detta kallas "att använda matematik", och matematiken kan därmed sägas vara "användbar" för dessa fysiker. Det samma gäller en ingenjör som, säg, använder att datorprogram för att göra en simulering inför ett brobygge - det klassiska exemplet på vad ingenjörer ägnar sig åt.

För att nu illustrera vad jag menar med att matematiken täcker in "för mycket" vill jag jämföra det dessa personer gör med händelsen att en sexåring räknar, 1, 2, 3, osv. Eller en kassörska som tar emot 100 kronor och, efter att ha slått in beloppet i kassaapparaten läser av att hon skall lämna 32 kronor tillbaka. Eller en lärare som förklarar derivata för sin gymnasieklass. Eller en mellanstadieelev som adderar två tresiffriga tal med papper och penna.

Listan kan, som synes, göras mycket lång - och allt "är", enligt gängse språkbruk, matematik. Man kan fråga sig vad som förenar fallen - och det är många som ställt sig denna fråga! Och vi har fått en mängd svar, som skiftat över tid och rum, som försökt fånga matematikens essens. Många försök har gjorts att förklara varför, hur det kan komma sig, att matematiken kan vara allt detta, kan vara så många olika saker, kan vara användbar på så många olika sätt, och så vidare.

Jag vill sätta fokus på allt det som uppenbarligen inte är gemensamt för dem. För det första är skillnaden stor i vad man måste "kunna" (ett annat problematiskt ord) för att kunna göra det som de olika personerna i exemplen ovan gör. Att säga att man måste "kunna matematik" duger inte - bara ett fåtal matematiker är även duktiga fysiker, och det samma gäller relationen mellan matematiker och ingenjörer - och - såklart - relationen mellan matematiker och kassapersonal. Att kunna matematik är inte nödvändigtvis att kunna räkna, inte att vara skicklig på att använda matematisk programvara, inte att skapa och förstå fysikaliska modeller. Även den matematiska vetenskapen själv, eller de matematiska vetenskaperna, innehåller en så stor mångfald att en enskild person knappast kan ha mer än (utifrån forskarnas eget perspektiv) relativt elementär allmänbildning inom de av matematikens grenar som ligger utanför det egna intresseområdet.

Wittgenstein sa att språket är i ordning, och inte heller jag vill döma språkbruket. Jag kan också se att det finns något som förenar allt det man kallar matematik, och liksom alla andra har jag svårt att precisera vari det består. Vad jag vill peka på är effekterna av själva grupperingen. Detta innebär inte - på den här förklaringsnivån - ett ifrågasättande av "aspekterna" av matematiken tagna var för sig. Det är inte - på den här förklaringsnivån - ett ifrågasättande av att matematiken "fungerar". Min fråga är vad det är som fungerar, och vad det innebär att vi, med ordet matematik, oundvikligen säger att det bara är en sak som fungerar, en sak som är den gemensamma orsaken till allt fungerande inom de områden som vi kallar "användning" och "tillämpning" av matematik.

Man kan här jämföra med andra "välfungerande" områden, som till exempel medicinen. Även där finns det mycket som fungerar, mycket som är nyttigt. Men detta betraktar vi på ett helt annat sätt. Här är det inte "en sak" som fungerar, som är medicinens gemensamma orsak.

Frågan om de matematiska praktikernas enhet (om man så säger) berör på ett direkt sätt frågan om skolmatematikens innehåll. För enheten utgör skolmatematikens förutsättning. Skolmatematiken siktar på matematiken, på dess kärna, det som man vid en given tidpunkt uppfattar som dess kärna, och den härleder sina metoder från denna kärna, och den försöker skala bort allt ovidkommande, det särskiljande för alla de specifika "aspekterna" av matematikens användning. Historiskt kan man följa en sorts skolmatematiken reningsprocess, där den blivit allt mer trogen det den själv uppfattar som matematik, och samtidigt glidit ifrån var och en av alla de sammanhang utanför skolan som kallas matematiska.

Skolmatemtiken byger med andra ord på att det finns något enhetligt som man måste "kunna" för att sedan "kunna" göra allt det som man kallar för användning och tillämpning av matematik. Detta ifrågasätter jag, och i detta ifrågasättande är jag i gott sällskap. "Forskning", och allt annat också, vad jag kan se, talar för att det inte finns något universalrecept för att lära människor allt det där som man vill att de skall kunna.

Den andra nivån är som sagt empirisk. Den handlar om matematikens roll inom vetenskap och teknik, och matematikens roll i vetenskapens och teknikens utveckling.

Det sunda förnuftets bild av vetenskapen, upplysningens bild och den bild som blev propaganda under första halvan av 1900-talet, sa att vetenskapen är en, att den består av teori - matematisk teori - och att den kan förstås som en orsak. Låt mig citera Ernst Nagel (1960):

Science as an institutionalized art of inquiry has yielded varied fruit. Its currently best-publicized products are undoubtedly the technological skills that have been transforming traditional forms of human economy at an accelerating rate. It is also responsible for many other things not at the focus of present public attention, though some of them have been, and continue to be, frequently prized as the most precious harvest of the scientific enterprise. Foremost among these are: the achievement of generalized theoretical knowledge concerning fundamental determining conditions for the occurence of various types of events and processes: the emancipation of men's minds from ancient superstitions in which barbarous practices and oppressive fears are often rooted; the undermining of the intellectual foundations for moral and religious dogmas, wich a resultant weakening in the protective cover that the hard crust of unreasoned custom provides for the continuation of social injustices; and, more generally, the gradual development among increasing numberts of a questioning intellectual temper towards traditional beliefs, a development frequenvly accompanied by the adoption in domains previously closed to systematic critical thought of logical methods for assessing, on the basis of reliable data of observation, the merits of alternative assumptions concerning matters of fact or of desirable policy. / Despite the brevity of this partial list, it suffices to make evident how much the scientific enterprise has contributed to the articulation as well as to the realization of aspirations generally associated with the idea of a liberal civilization.

Idag är det inte längre så många - som satt sig in i frågan - som betraktar vetenskapen och historien på detta sätt. Vetenskapen har, enkelt uttryckt, fallit i bitar. Historiska och sociologiska undersökningar har visat att detta att se den som en, snarar utgjorde ett hinder än en tillgång när det gällde att förstå vad "den" var - och de finns idag en uppenbar motsägelse i termerna vetenskapsteori, vetenskapssociologi och vetenskapshistoria.

När det gäller matematiken står det klart att den inte "tillämpats" och "använts" på det sätt som man tidigare trott. Det har aldrig funnits någon enkel väg från teori till teknik, från något som är ett till en mångfald tillämpningar.

Denna nyare syn på vetenskapen och relationen mellan teori och praktik utgör en viktig aspekt av min teori om matematiken. Den ger stöd åt min idé att matematiken utgör ett sorts våld på tingens mångfald i sitt försök att sätta så mycket under samma ord, och att förklara så mycket med hänvisning till "matematiken", som man måste lära sig, som "används" och som får broarna att hålla och fysiken att förklara.

Som sagt kan man mycket väl se en likhet, med Wittgenstein: en familjelikhet, mellan allt det som kallas matematik. Vad jag skjutit in mig på är skillnaden mellan denna familjelikhet och att se det hela som delar av samma - - - objekt, som jag gärna vill säga, aspekter av något som ter sig ogripbart, outgrundligt, meningsfullt, kraftfullt, evigt, sant. Och så fortsätter jag...

Skolan och verkligheten

Jag tänker mig att vad vi uppfattar som i en oproblematisk mening verkligt, i synnerhet vad gäller vissa delar av denna verklighet, kan förstås som något "socialt instituerat imaginärt", för att tala med Castoriadis. Socialt, eftersom det är resultatet av sociala processer. Instituerat eftersom det är konstant över tid och rum, samma för olika människor, som en social institution. Imaginärt, eftersom dess substans, materia, inte har något annat ursprung än människans fantasi. Castoriadis tar Gud som exempel. Mitt exempel är matematiken. Man kan tänka på liknande sätt om fenomenet "marknaden".

Vad som förenar dem är att vårt förhållningssätt till dem tycks delsvis fixerat av dem själva. De tycks följa en sorts inre logik som ligger bortom vår kontroll. De utgör, igen med Castoriadis, exempel på heteronomi. Ett uttryck som implicit uttrycker att vi "egentligen" har kontroll över dessa fenomen, och mer specifikt kan förändra dem - demokratiskt.

Hur blir saker verkliga på detta sätt? Detta är, som jag ser det, en fråga om tro, blind tro, att komma till tro, att nå ett tillstånd av oreflekterad övertygelse om att något är på ett visst sätt som utesluter allt tvivel. Man kan se det som tro som uppfattas som vetande, men detta innebär i så fall inte att vi tror oss veta något som i själva verket är "fel". Få skulle påstå sig "veta" vad Gud, matematiken eller marknaden är. Vissheten visar sig i handling, den är "materialiserad" i sociala institutioner, den visar sig i hur vi talar; inte minst i vad vi inte talar om, hur vi inte talar, vad vi inte föreslår, hur vi inte förklarar historien osv.

Detta resonemang är egentligen inga konstigheter. Det är väl sociologi helt enkelt? Durkheim, fast lite generaliserad till att även omfatta naturvetenskapen. Hur som helst.

Vi lär oss vad verkligheten är när vi växer upp, när annars. Och - min poäng - vissa delar av verkligheten lär vi oss mest om i skolan. Jag menar att skolan "äger" - i den alldeles moderna innebörden av detta ord - vissa delar av verkligheten, både på det objektiva, ontologiska planet, dvs. vad vi uppfattar som verkligt - matematiken som egentligen är skolans matematik, men även på andra sätt, som jag inte vet så mycket om, skolans övriga ämnen - och på det institutionella, sociala planet, dvs: matematiken är på ett ontologiskt plan "viktig", denna viktighet är institutionaliserad i form av skolmatematik med prestationsmätningar och viktiga betyg, därför är det väldigt svårt att tvivla på att matematiken faktiskt *är* "viktig" - den är ju faktiskt viktig, på grund av att den *i skolan* behandlas som om den vore viktig.

Vad jag säger om detta, och som kanske är svårt att följa, är att skolan, genom att förklara sin sociala organisation med hänvisning till "existerande" objekt, gör det svårt att se, förstå, inse, vilken enorm formande kraft skolans institutioner har på oss. Objekten, ämnena, bestämmer hur vi ser skolan, nämligen som en "förmedlare av verklighet", en instans som för verkligheten till eleven, en instans som behövs för att den vuxne skall kunna orientera sig i verkligheten. Vi missar att denna verklighet i väldigt storutsträckning *är skola*. För att tala med Castoriadis: om vi helt enkelt tagit bort skolmatematikens institutioner, så skulle matematiken upphöra att vara det den är idag, inte minst skulle den upphöra att vara "viktig" så som den är idag. Denna viktighet har sin grund i skolans institutioner. Om vi insåg detta skulle vi vara autonoma. Dagens tillstånd, att vi är fångade i en tro på att matematiken är viktig oberoende av oss och att vi måste anpassa oss till den, är heteronomt. Att tala om matematik utan skolmatematiken vore kanske ungefär som det är idag att tala om klassiska språk, grammatik, logik eller för den delen medicin, juridik eller ekonomi - viktiga fenomen vet alla, men som saknar skolform (skolmedicin, skoljuridik, skolekonomi - vore inte det något för tankegymnastik, självförtroende, vetenskap, demokrati och ekonomisk tillväxt?)

Matematiken och politiken

Mer viktigt än hur matematiken öppnar ett rum för politisk handling, genom "satsningar" på skolan, är såklart hur matematiken ger mening åt det som händer i skolan, dels det faktum att den kostar en massa pengar, dels att alla barn och unga måste vara där, dels att skolans prestationsmätningar skall få så stora konsekvenser. Matematikens existens, dess ontologi, och det sätt på vilket den existerar, gör det möjligt att se hela denna sociala apparat som knuten till, förbunden med, något objektivt, något naturligt - och även detta utgör en sorts ram för det politiska, något som måste accepteras för att den politiska diskussion vi har över huvud taget skall bli möjlig.

För mig gick det upp ett ljus då jag förstod Marx resonemang kring pengar, och hur de är fetisherade, dvs att man uppfattar pengar som om de hade ett eget, inneboende värde - trots att djupare reflektion gör det uppenbart att pengars värde är helt och hållet socialt bestämt, och att en "mängd pengar" motsvarar en viss relation till alla andra människor som också har (mer eller mindre) pengar. På precis samma sätt är det med de "kunskaper" som produceras i skolan. Kunskapsmåtten, dvs betygen, är helt uppenbart bara värda något i förhållande till andra betyg, de placerar in varje elev i en ordning. Men vi tänker inte om betyg på detta sätt, och vi uppmanas till och med explici (genom de "absoluta" betygen) att inte tänka så, utan i stället i termer av "kvantitet kunskap", vilket då det gäller matematiken inte är något annat än "kvantitet matematik", som om matematiken vore en substans som man i skolan approprierar, med större eller mindre framgång.

På samma sätt som pengarna ställer sig på detta sätt matematiken "i vägen" för det sociala, den gör det möjligt att "inte se" det. Konkret: då en elev misslyckas och blir bortsorterad kan vi tala om detta i termer av en individuell brist, en avsaknas av matematik - istället för att se det som en nödvändig konsekvens av reproduktionen av samhällets hierarkiska struktur. Detta sätt att tala hänger sedan givetvis samman med den typ av politisk handling som vi talade om: att satsa på matematiken - för att fylla i det gapande tomma hålet i individen, och mer generellt, att fylla igen det gapande hålet i samhället, den skriande bristen på (kunskaper i) matematik.

Skolans ämnen

Matematiken är, idag, inte ett "naturligt" objekt i den bemärkelsen att den (bara) skulle vara en del av naturen, att den skulle vara "upptäckt" och så vidare. Det väsentliga för mitt resonemang är att den är "verklig", med vilket jag menar att den - för de allra flesta människor - hör till det som i en oproblematisk mening helt enkelt *finns*. Till detta hör att den finns *på ett visst sätt*, eller med andra ord har en viss uppsättning egenskaper.

Detta existerande har matematiken, enligt hur jag uppfattar det (öppning för invändning...), gemensamt med många andra skolämnen: språk, samhällskunskap, historia. Som jag förstår det är själv utgångspunkten för all ämnesdidaktisk forskning, att den har ett "ämne" till objekt vars egenskaper, vars relation till barnet, läraren, samhället, etc. man kan utforska. Undervisningen utgår från att det finns ett "ämne" att förmedla, eller på något sätt bibringa barnet.

Mitt argument i denna fråga har en idéhistorisk dimension som jag gärna vill ha hjälp att vidareutveckla. Skolan ämnen framträder nämligen i nytt ljus, med ny kraft, och på ett nytt sätt, kring 1920-talet i anslutning till frågan om *tid*. Folkskolan hade vid denna tid fått någorlunda fast ramar, och började bli möjlig att *styra*, med hjälp av kursplaner, inspektioner osv. Den nybildade realskolan bredde ut sig. Och precis samtidigt uppstår en vild - verkligen vild! - diskussion kring fördelning av elevernas tid. Konstrasten är slående i jämförelse med diskussionen på 1880-talet då frågan (inom folkskolan) tvärtom var hur en ensam lärare skulle kunna hålla eleverna sysselsatta, dvs kunna få tiden att gå, flyta fram utan att eleverna pockade på uppmärksamhet.

Mitt intryck är att denna diskussion kan förstås som en diskussion just om vad som är verklighet, vad verkligheten består av. Frågan var: vad måste eleverna lära sig något *om*, för att förberedas inför (1) fortsatta vetenskapliga studier och få (2) "medborgerlig bildning"? Ämnena fick vid denna tid särskilda representanter - och man kan inte skilja skolans förändring från en allmän professionaliseringstendens i samhället vid denna tid. Grupperna kämpade för plats åt sin egen *expertis* kan man säga, för dess sanningsanspråk.

Och kärnfrågan rörde: tid - på kursplanen och därmed i skolan.

Det är inte ett långt steg till analysen: Och så skulle eleverna formas att tro på, respektera, underställas, de respektive ämnesområderna, de respektive ämnena, de respektive experterna. Men så tänkte de förstås inte (eller?)!

Hur som helst. Denna ämnesdiskussion tar plats i ett rum som just blivit tomt, efter det att religionen och den nyhumanistiska förståelsen av vetenskap och bildning lämnat scenen. Man kan därför (är, som du förstår, min uppfattning - vilken är i stort behov av nyansering, precisering, konkretion, osv) se detta som en process av sekularisering, en tidpunkt då det sociala imaginära struktureras om på ett genomgripande sätt, för det stora folkflertalet.

Och - min poäng - detta sker genom skolan. Skolan *får* vid denna tid, sina ämnen, i den moderna bemärkelsen, dvs vetenskapligt förankrade, med anspråk på att vara kunskapsobjekt, ämnen som man med nödvändighet måste lära sig för att kunna något om, för att kunna bemästra, verkligheten utanför skolan.

Verkligheten blir, kan man säga, uppdelad i skikt, på en ontologisk nivå: verkligheten, ja det är: matematik, historia, samhälle, ekonomi, språk, osv. Vart och ett universellt på sitt speciella sätt.

Dessa ämnen kan, menar jag, förstås som en sorts ersättningsobjekt för den tidigare: vetenskapen och religionen, med en ny uppsättning präster: experterna.

Trauma

Hur uppstår skolans matematik? Hur får den sina egenskaper? Hur får den sin sublimitet?

På ett ontologiskt och psykologiskt plan skapas skolans matematik först och främst i den skolmatematiska undervisningspraktiken. Med Bourdieu kan man tala om ett symboliskt våld genom vilket den unga människan tvingas till tro. Med Zizek kan man tala om skapandet av ett trauma som sedan följer med oss och strukturerar vår verklighet efter det att vi lämnat skolan. Skolmatematiken ger oss möjlighet att komplettera Zizeks beskrivning av traumats generella effekter med en exakt beskrivning av hur ett mycket specifikt sådant trauma kan skapas.

Ett trauma är en händelse som vi på ett explicit diskursivt plan inte minns. Vi kan inte integrera den i vår livsberättelse. Likväl påverkar den oss. Man kan förstå traumat som en okänd kropp, vars existens visar sig i sina effekter själva den verklighet som vi upplever oss vara en del av. Traumat kröker den symboliska ordningen. Det visar sig i det objektiva. Traumat är en del av vårt inre - något "psykiskt" - som vi inte kan påverka, som ligger bortom vår kontroll. Objektiveringen av framträdelsen kan förstås som ett sätt att "begripliggöra" bristen på kontroll, ett sätt att integrera själva omöjligheten i det symboliska. Det kan till exempel handla om en rädsla, eller ännu enklare: en vana - något vi som till vår natur är tvungna att göra av anledningar vi inte förstår, ett mönster som upprepar sig, en sätt att reagera. Om mönstret gör oss illa kan vi tycka oss vara placerade i en förbannad verklighet.

Ett trauma kan, i teorin och ibland i praktiken, lösas upp. Händelseförloppet kan nystas upp och bli till något som hände just mig, just då - och bli begripligt. Vad som då händer är att det rasslar till, och själva verkligheten lägger sig till rätta på ett nytt sätt. I praktiken händer alltid detta i en följd av mindre eller större jordskred, alltid med följd att man när man lyfter blicken tycks befinna sig på en annan plats än tidigare. Det är inte fel att jämföra med ett succesivt uppvaknande ur en dröm. Därmed inte sagt varken att det man vaknar upp till är särskilt lyckligt, eller ens att det inte är blott en annan dröm. Något annat är det inte desto mindre.

Skolans matematik vilar på ett socialt instituerat trauma. Att vi säger "matematik" och inte "skolans matematik" betyder att vi inte förstår varifrån matematiken kommer. Den är helt enkelt där. Vi förstår inte att den är vår matematik, det moderna samhällets - för några tiotal år sedan kunde man säga "det västerländska samhällenas" - matematik. Vi tror att samhället, det sociala, liksom vi som individer, vilar i matematikens famn. Den tycks omsluta oss. Den är med andra ord resultatet av ett i allra högsta grad gemensamt trauma. Den är resultatet av ett trauma som reproduceras med kraft och precision. Skolmatematiken kan i detta avseende ses som ett laboratorium som blivit industri.

Skolmatematiken påverkar, i form av matematikens objektiva existens, vårt sätt att uppfatta verkligheten och i detta kan man skilja mellan hur den bestämmer vårt sätt att uppfatta å ena sidan skolmatematiken själv och å den andra verkligheten utanför skolan.

En av skolmatematikens mest fantastiska prestationer är att den lyckas få sin inre verklighet att framstå som, om inte normal, så åtminstone acceptabel. Den gör detta genom att ställa sig bakom den matematik den själv gett upphov till. Det kan tyckas provocerande, men är likväl inte fel att här jämföra med den hårda men "rättvisa" fadern som alla slagna instinktivt tar i försvar. Alla vet hur viktig matematiken är - oavsett om de lyckats eller inte i skolan, oavsett om de haft "roligt" eller "hatat" matematiken. Och även om man lämnat den så långt bakom sig att man inte längre ens bryr sig, finns den - vad det verkar - fortfarande där, som en väl inslagen lins som plockas fram åtminstone då skolmatematiken skall betraktas och funderas.

Om denna institutionaliserade blick med vilken skolmatematiken impregnerats utgör ett problem, är en kraftigt underlättande omständighet då man vill ta sig an den skolmatematiska undervisningspraktiken att dess organisation sätter tydliga avtryck - i berättelser om "hur man bör göra", "hur man i praktiken gör men inte borde göra", och framför allt i de läroböcker, räkneböcker, som spelar en central roll inom skolmatematiken.

Vad är en skolmatematisk lärobok? Kanske är det en poäng att här försöka skilja mellan sådant som är tillfälligt och sådant som är nödvändigt för själva produktionen av skolans matematik. Till det tillfälliga skulle då hör sådant som att läroböcker idag består av papper och att eleverna använder penna när de löser sina uppgifter - inget hindrar teknikutvecklingen från att ändra på detta. Till det essentiella kunde man kanske föra
1. En oftast enskild tolkande praktik, där tolkandet som föremål har en serie väl avgränsade
2. uppgifter, som alla har ett
3. entydigt svar som är omöjligt eller åtminstone meningslöst att ifrågasätta (eftersom det antas emanera ur matematiken själv).

Till den skolmatematiska undervisningspraktikens något mindre uppenbara egenskaper hör även
4. att den tolkande inte har tillgång till de principer genom vilka svaret (facit) är producerat, utan har som uppgift att på egen hand härleda dessa genom vad som framställs som ett önskvärt "upptäckande", "begreppsbildning" eller helt enkelt "lärande". Om eleven redan visste allt, det vill säga "förstod", skulle givetvis övandet, lösandet av ytterligare uppgifter, framstå som meningslöst. Skolmatematiken vilar därför på antagandet om att det finns något som eleven inte vet, eller snarare inte har i sig, som lösandet av uppgifter, tolkandet, låter växa fram, bildas. Skolmatematiken ser därför som sin uppgift att i möjligaste mån garantera att eleven inte har tillgång till något "mekaniskt" sätt att besvara de frågor uppgifterna utgör, vilket i princip innebär att själva följden av frågor måste vara utformad så att den tolkande i möjligaste mån hindras från att "lyfta blicken", och från att gå händelserna i förväg (hela grundskolans matematik går ju exempelvis att sammanfatta på en lapp i A6-format) - något som skulle kunna reducera hela sjok av uppgifter till meningslösa trivialiteter. Enligt skolmatematikens logik - härledd från egenskaper hos skolans matematik - skulle i så fall något ha gått förlorat, nämligen den möjlighet till lärande och begreppsbildning som dessa uppgifter bar på.

Till skolmatematikens essens hör också
5. att förmågan att prestera, det vill säga förmågan att göra riktiga tolkningar av skolmatematiska uppgifter och producera just det svar skolmatematiken håller för riktigt, får livsavgörande konsekvenser. Det är på så sätt man får lära sig att matematik - det är allvar. Skolans matematik skulle inte vara vad den är om skolmatematik vore nån sorts frivillig hobbyverksamhet.

Det är nödvändigt att ta upp
6. kvantiteten - i antal uppgifter, den tid som ägnas åt tolkning mätt i antal gånger i veckan, i antal timmar, i antalet år av ens uppväxt den äger rum. Skolans matematik blir inte resultatet av några månaders träning i snabbräkning. Skolmatematiken är till sin natur något barn möter före puberteten och något som följer dem en bit upp i tonåren.

Till skolmatematikens mest svårbegripliga egenskaper hör slutligen hur den
7. utger sig för att handla om något annat än sig själv, och förmedlar detta genom formen hos den tolkning som eleverna måste lära sig för att kunna leverera. Fenomenet uttrycks i dess önskan om "realism", vilken i sin tur har en mängd dimensioner: uppgifterna skall handla om verkligheten, behandla verkliga föremål, men de skall också "vara verklighet", de skall utgöra ett simulerat varande i verkligheten, att lösa uppgifterna skall motsvarande lösande av "verkliga" problem, och det tillstånd av relativ ovetskap som skolmatematiken frammanar i sitt inre, skall motsvaras av det tillstånd av relativ ovetskap som antas vara en aspekt av varandet i verkligheten utanför skolan. Den fråga som skolmatematiken riktar till eleverna framträder därför (eller försöker åtminstone att framträda) som en fråga endast förmedlad av skolmatematiken från en avsändare utanför skolan, från den fysiska verkligheten och från den sociala verkligheten. Skolmatematikens noga konstruerade progression av uppgifter, dess frammanade tillstånd av ovetskap, framträder därför som en långsam introduktion till en i sig själv förunderlig yttre verklighet, omöjlig att begripa annat än genom en följd av små upptäckter, små steg mot behärskande.

Matematiken som referensobjekt

Skolans matematik framträder som en fast punkt i en rad avseenden, till exempel som gemensam nämnare för terminologiska sammansättningar (som matematiskt tänkande, matematisk problemlösning, matematiska kunskaper och matematisk kreativitet) och som de skolmatematiska praktikernas gemensamma objekt.

En av de viktigaste sociala funktioner som skolans matematik fyller är emellertid att konstituera en sorts människovärdets metrik.

Skolans matematik tycks gjord av en substans som kan existera i olika hög utsträckning i människors inre, ungefär på samma sätt som en glödlampa kopplad till en dimmer kan lysa olika starkt. Tack vare denna egenskap hos skolans matematik kan skolans prestationsmätningar framstå som mätningar av något, snarare än som "meningslös" gradering.

Väsentligt att notera är här att mätresultatens värde och mening uteslutande konstitueras genom de institutionaliserade jämförelemekanismer som de är en del av. De framstår emellertid som individuella, i sig själva meningsfulla, mätningar av en universell substans.

Skolans matemtik ger upphov till samma typ av sociala magi som Marx beskrivit i fråga om pengar, vilka framstår som i sig själva värdefulla, trots att vi mycket väl "vet" att deras värde är helt och hållet socialt konstituerat. Marx skriver att pengarna gör oss blinda för de sociala relationer de representerar.

På exakt samma sätt är det med skolans matematik. Den gör oss blinda för de sociala mekanismer som är verksamma i skolan. Den gör det möjligt att betrakta det faktum att några med nödvändighet måste hamna längst ner på skalan som orsakat av att dessa individer saknar något. Fokus förskjuts från de socialt konstituerade relationerna till individen, vilket naturligtvis leder vidare till krav på förbättrad kunskapsförmedling, en bättre metod med vars hjälp matematikens inre ljus kan fås att skina.

Skolmatematikens kluvna subjektivitet

Till skolmatematikens särdrag hör ett kluvet förhållande till sig själv. Det rör sig här inte om ambivalens, det vill säga osäkerhet eller instabilitet, utan om en uppdelning mellan två känslostämningar, sätt att tala och sätt att tänka som existerar sida vid sida och tillsammans konstituerar en sorts funktionell enhet.

Som objekt för sin egen blick består skolmatematiken av två väsensskilda substanser: matematik och skola. Det är viktigt att notera att båda dessa substanser konstitueras inom skolmatematiken, men framträder som på förhand givna och fixerade bortom den skolmatematiska subjektivitetens kontroll.

Relationen mellan matematiken och skolan (dvs som delar av skolmatematikens självförståelse) kan bäst beskrivas med hänvisning till de från den aristoteliska metafysiken härledda termerna actus och potentia. Matematiken utgör här en potential som skolan hindrar från att realiseras, dvs från att bli aktuell. Matematiken finns alltså i skolan, men inte som realiserad (eller aktualiserad) utan blott som något som borde vara där och skulle vara där, om inte skolan skulle hindrat den.

Matematiken tänks i sin aktuella form vara användbar, lätt att lära sig, rolig, intressant, meningsfull, och så vidare. Detta är vad skolmatematiken själv vill vara, och den hoppas kunna bli det genom att realisera matematikens potential.

Skolan tänks i sin tur utgöra ett hinder på grund av sin "traditionella" historia och den tröghet som binder den till sin historia samt de "funktioner" som skolan har att utföra i samhället (sortering, sysselsättning, disciplinering, osv). I motsats till matematiken är skolan det som finns här och nu. Den framstår som en trög oformlig massa.

Skolmatematiken strävar efter att realisera matematikens potential genom att undanröja det hinder som skolan utgör. Medlet att så att säga lösa upp skolan och få matematiken att träda fram, är den riktiga metoden som gör det möjligt för eleverna att möta matematiken sådan den i själva verket är, det vill säga som aktuell, realiserad.

Skolmatematikens självpåtagna uppgift är med andra ord självkritisk, men bara riktad mot en viss del av sig själv, nämligen sitt sociala och historiska vara. Bortom detta vara antas matematiken ligga förborgad som en vacker diamant. Den syns inte, men som skolmatematiker vet man att den finns där och man känner dess potential.

Det är med andra ord ett välkänt faktum att skolmatematiken "inte fungerar".

Uppdelningen mellan skola och matematik på objektets nivå motsvaras av en uppdelning på subjektets nivå mellan en så att säga imaginär utsagesposition och en (faktiskt) symbolisk utsagesposition. Skolmatematiken tror sig nämligen själv alltid tala med utgångspunkt från matematiken, det vill säga från en position som befinner sig utanför skolmatematikens historiska och sociala vara, som om talet inte var skolmatematiskt. Den skolmatematiska diskursen framträder alltså aldrig för sig själv som skolmatematisk, utan som en extern kommentar undantagen från skolmatematikens interna logik.

På en symbolisk nivå (vilket här ungefär motsvarar en social nivå, möjlig att förstå sociologiskt) är det emellertid enkelt att se att den skolmatematiska diskursen produceras inom institutioner som hör till skolmatematiken.

Vad man nu måste förstå är att exakt denna diskurs inte bara bidrar till att reproducera just det skolmatematikens historiska och sociala vara som den kritiserar, utan att själva den distans som diskursen utger sig för att uttrycka är absolut nödvändig för denna reproduktion.

För det första är det enkelt att se hur denna interna kritik gör skolmatematiken immun mot extern kritik, eftersom sådan kritik alltid tycks "slå in öppna dörrar" och dessutom vara jämförelsevis oinitierad.

Ur ett psykoanalytiskt perspektiv kan man mer exakt säga att skolmatematikens självdistanserade pose är reciprokt förbunden med de objekt den förhåller sig till, de två substanserna: skolan och matematiken, på så sätt att dessa inte kan existera utan denna distans, samtidigt som distansen inte är möjlig utan dessa objekt. Skolan kan vara ett hinder bara i förhållande till en potentiell matematik; matematiken kan framstå som en potential bara om den antas hindrad av skolan.

Framför allt skulle givetvis kritiken mot skolmatematiken vara helt förödande för den själv, om inte matematiken antogs finnas i skolmatematiken möjlig att så att säga avtäcka.

Matematikens utsida (eller mer exakt: utsidan av skolans matematik)

Då man vill förstå skolmatematiken och skolans matematik kan det vara användbart att göra en distinktion mellan matematikens insida och matematikens utsida. Det jag här syftar på är, mer exakt, insidan respektive utsidan av skolans matematik.

Matematikens utsida är det man ser då man från en utsiktspunkt utanför skolmatematikens institutioner tänker på matematiken. Matematikens utsida är vad skolmatematiken ställer fram som en representant för sig själv. Matematikens utsida är en sammanfattning av vad skolmatematiken vill vara för samhället. Matematikens utsida framträder i texter producerade i gränslandet mellan skola och samhälle i syfte att presentera skolmatematiken för en bredare offentlighet.

Om matematikens insida är fylld av fascinerande objekt, såsom matematiskt tänkande och matematiska begrepp, är matematikens utsida blank. Om insidan lämpar sig att beskrivas med hänvisning till den lacanska psykoanalysens sublima objekt, passar utsidan bättre ihop med laclaus och den av gramsci inspirerade marxistiska traditionens nodpunkter. Att matematikens utsida är blank innebär att den, liksom en nodpunkt, kan spegla nästan vad som helst av de allmänna högre värden som cirkulerar i det offentliga samtalet.

I egenskap av nodpunkt kan matematikens utsida förknippa samhällets högre värden, dels med varandra, dels med skolan. Om matematikens insida fäster matematiken vid eleverna (deras själar), är matematikens utsida en diamant där allt som är gott i samhället kan betraktas på samma gång - vilket givetvis får den att framstå som omåttligt god.

I egenskap av nodpunkt bidrar matematikens utsida till att knyta samman och ge mening åt det offentliga samtalet. Annars relativt obestämda termer, som demokrati, tillväxt och jälvförtroende, får i matematiken en gemensam nämnare. Genom matematiken - som ju blott är en representant för skolmatmatken - blir de möjliga att eftersträva. Matematikens utsida skapar möjligheter till politisk handling.

Matematikens insida (eller mer exakt: insidan av skolans matematik)

Då man vill förstå skolmatematiken och skolans matematik kan det vara användbart att göra en distinktion mellan matematikens insida och matematikens utsida. Det jag här syftar på är, mer exakt, insidan respektive utsidan av skolans matematik.

Matematikens insida vetter mot skolan. Matematikens insida är det man "ser" då man tänker på matematik inifrån någon av skolmatematikens institutioner, till exempel som lärare eller forskare. Matematikens insida tillhandahåller ett sätt att tala om skolmatematikens (interna) praktiker, genom sammanställningar som: "matematiskt tänkande", "matematisk problemlösning", "matematisk kreativitet" och "matematisk begreppsbildning".

Matematikens insida vetter mot skolan, men den vetter också mot eleven. Med en metafor kan man säga att matematikens insida har en klibbig yta, genom vilken matematiken kan fästas vid eleverna. Genom insidan kan eleverna ha matematiken, så att säga "i sig". Man kan ha (en förmåga till) matematiskt tänkande, matematisk problemlösning och matematisk kreativitet, man kan ha matematiska begrepp, och i eleven kan det (föreställer man sig inom skolmatematiken institutioner) pågå matematisk begreppsbildning.

När man inifrån skolmatematiken blickar mot det omgivande samhället, ser man detta samhälle, så att säga representerat av matematikens insida. Matematiken, och här är det kanske värt att påminna om att det rör sig om skolans egen matematik, fungerar som en skärm, vilken omsluter skolan och får det omgivande samhället att framträda i matematiska termer. Skolmatematiken utgår från att det omgivande samhället är impregnerat av matematik. Det blir effekten av att detta samhälle betraktas så att säga genom matematiken. Samhället tycks vara en plats där allt det som matematikens insida visar, hela tiden behövs. Man tycks behöva matematiska kunskaper och matematiska begrepp. På så sätt förlänar matematikens insida skolmatematikens praktiker med mening. Matematikens insida förbinder de skolmatematiska praktikerna med det omgivande samhället genom att fixera deras mål. Matematikens insida gör det möjligt att tala om skolmatematiken på ett meningsfullt sätt.

Med en psykoanalytisk term kan man säga att matematikens insida "innehåller" eller "konstituerar" en mängd sublima objekt. Karaktäristiskt för dessa objekt (dvs inte sublima objekt i allmänhet, utan de som hör till matematikens insida) är att de ter sig eftersträvansvärda och lockande.

Med en annan psykoanalytisk term kan man säga att de fixerar den skolmatematiska subjektivitetens begär. De konstituerar det mål man inom skolmatematiken strävar efter, och den bild som man vill efterlikna. Med fortsatt hänvisning till psykoanalysen kan man säga att matematikens insida innehåller en mängd föremål för imaginär identifikation. Matematikens insida anger vad man vill och hoppas skall hända inuti eleverna, vad man hoppas och vill skall bli resultatet av den skolmatematiska undervisningspraktiken.

En av mina teser är att dessa objekt bara existerar som en effekt av att skolmatematiken så att säga måste gå att tala om på ett meningsfullt sätt. De framstår som skolmatematikens (yttre) orsak, man är i själva verket en effekt av en inre ("social") nödvändighet. Objekten framstår som universella och eviga - som om till exempel det matematiska tänkandet vore en på förhand given möjlighet sprungen ur vad det innebär att vara människa - men är i själva verket fullständigt sammanvävda med de skolmatematiska institutionerna, på så sätt att objektet bara har mening och framstår som lockande inifrån dessa institutioner.

Skolans matematik

Skolans matematik är mitt svar på frågan hur skolmatematiken (den institutionaliserade sociala praktik vars syfte är att leda till något allmänt gott med hjälp av undervisning i matematik) hänger ihop med matematiken (det svårgripbara fenomen som samtidigt är ett föremål för undervisning, namnet på en vetenskap, något som tycks "användas" i en rad sammanhang).

Det man i skolsammanhang benämner matematik tycks syfta på något som ligger bortom skolan själv (vetenskapen, något nästan överallt användbart, allestädes närvarande, etc). Matematiken framstår i skolsammanhang som något väsentligen annat än skolan själv, något givet som skolan har att utgå ifrån. Det tycks självklart att man från skolans håll inte har någon möjlighet att påverka vad matematik är.

Den första delen av min tes är att det sätt på vilket man i skolan förhåller sig till matematiken är skolans eget. Det har i skolsammanhang vuxit fram ideal för hur undervisning i matematik bör bedrivas, det har vuxit fram teorier för hur barn och ungdomar lär sig matematik, det har vuxit fram föreställningar om vad matematik är, vilken roll matematiken spelar i samhälle och vetenskap, samt varför det är viktigt att alla människor tar del av matematikundervisning under sin uppväxt.

Från skolans håll presenterar man dessa, vad man något förenklat kan kalla "förhållningssätt", som sprungna ur matematiken, det vill säga, man påstår att de är resultatet av en anpassning till matematiken, en nödvändig följd av hur matematiken i sig själv är - i egenskap av vetenskap, vardags- och yrkespraktik, något givet och allestädes närvarande, etc.

I själva verket har emellertid skolans sätt att förhålla sig till matematiken vuxit fram som en del av skolan själv. Den har inte "påverkats" och "anpassats" till en på förhand given matematik, eller en annan parallell utveckling av matematiken i egenskap av vetenskap. Undervisningsidealen är skolans egna och måste förstås historiskt och sociologiskt. Det samma gäller teorierna för hur man lär sig matematik, liksom argumenten rörande det allmänna behovet av grundläggande matematikundervisning.

Den första delen av min tes kan sägas bestå i att skolmatematiken har en hög grad av automomi i förhållande till andra samhällssfärer - däribland vetenskapen. Skolmatematiken framställer sig själv som underordnad vetenskapen och samhället, som dess tjänare. I själva verket är skolmatematiken (som en del av skolan mer allmänt) en autonom "positiv" kraft. Skolmatematiken - dvs i mer konkret bemärkelse de personer som är verksamma i eller i anknytning till skolan (lärare, pedagoger, didaktiker, tjänstemän på olika nivåer) - sätter i stor utsträckning sin egen agenda.

Detta innebär emellertid inte att de som är verksamma inom skolmatematikens ramar (som jag här sammanfattande betecknar "skolmatematiker") är medvetna om denna autonomi. Detta leder vidare till den andra delen av min tes rörande skolans matematik.

Den andra delen av min tes rörande skolans matematik är att de "förhållningssätt" till matematiken som vuxit fram och råder inom skolmatematiken har "materialiserats" eller med ett annat ord "reifierats" i matematiken. Vad som i själva verket är resultatet av en komplicerad historisk process, och i praktiken reproduceras genom svåröverskådliga sociala mekanismer, framstår som orsakade av matematiken i egenskap av ett på förhand givet, evigt och universellt objekt.

Den matematik som skolmatematiken kretsar kring "är" därmed i en mening något objektivt existerande - så till vida att den framstår som objektivt given, och därmed omöjlig att påverka, i synnerhet för enskilda individer. Från skolans håll ser det ut som att matematiken är det den är, och att man bara har ett anpassa sig till detta.

Det denna matematik "är" är emellertid skolmatematiken själv "i en annan form". Den är, kan man därför säga, skolans matematik.

Skolmatematiken är de facto resultatet av en svåröverblickbar historisk process; den har många drag som skulle kunna få den att framstå som gåtfull. Genom att framstå som sprungen ur matematiken, det vill säga rationellt härledd från matematikens inneboende egenskaper, flyttas denna gåtfullhet ut, från skolan, till matematiken. Det som framstår som outgrundligt är därför inte skolan, utan matematiken.

Den outgrundlighet som skolmatematiken ser i matematiken är därför bara skolmatematikens egen outgrundlighet i en annan form.

Skolmatematiken har, kort sagt, ingen rationell förankring, i matematiken. Den matematik den tycks kretsar kring är resultatet av en sorts intern klyvning.

Som en tredje del av min tes kan man säga att denna interna klyvning är absolut nödvändig för skolmatematikens sätt att fungera. I samma ögonblick som det framgår att den matematik skolmatematikens kretsar kring i själva verket är skolans egen, kommer skolmatematiken i egenskap av social institution att "falla" (vad detta nu skulle innebära).

Här är det dock nödvändigt att observera att det är långt ifrån enkelt att säga vad detta framgående skulle vara. Till den teori från vilken jag hämtat inspiration till den ovanstående analysen hör ett komplex av idéer rörande trons struktur. Bland annat talar man om en ofta förekommande "fetishistisk splittring", som innebär att människor kan "veta" något, men samtidigt agera "som om" de inte visste. Detta är mycket tydligt i fråga om skolans matematik. Från skolmatematikens håll är det normalt att "veta" att matematiken inte är sådan skolmatematiken framställer den. Likväl "tror" man på det, såtillvida att man agerar som om matematiken vore sådan. Man agerar på ett sätt som bidrar till att upprättahålla skolmatematiken i egenskap av social institution.